Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 475 - Spring 2022 – Homework 0A

Warm-up questions

These  questions  are intended to  remind you  of some  elementary linear algebra.  If you  are unsure of anything, make sure to review your linear algebra notes/textbook.  We will be using linear algebra throughout the course.

1. Let A, B, C, D be matrices defined by

A =  '(┌)1   '(┐) ,    B =  '(┌)4(1)      '(┐) ,    C =  '(┌)3   1'(┐) ,    D = ┐ .

Which of the following sums and products are well defined?

A + B    A + C   AB    BA   CD   DC    C≥     D≥ .

You do not need to compute these quantities.

2. Let A and B be matrices and | denote the transpose.  Are the following true or false? You do not need to explain your answers.

1.  (A + B)o = Ao + Bo

2.  (AB)o = Ao Bo

3.  (Ao)o = A

4.  (λA)o = Ao, where λ is a scalar.

3. Find a matrix X that satisfies the equation B + (Tr(C)X)o = F

4. Solve the linear system

┌ ┐        ┌ ┐0(1)

11    ←2   9             2

Questions

5. Let Q ∈ Ti×i  be an orthogonal matrix.

(a) What are the possible values for the eigenvalues of Q?

(b) Prove Lemma 15 from the lecture notes.

6. Let x, y ∈ Ti  be nonzero vectors and consider the matrix A = xyo . What is the rank of A? What is the range R(A) and null space N (A)?

7. Let A ∈ Ti×m , where m < n and consider the linear system Ax = b.          (a) How many solutions can this system have? Give an example for each case.

(b) Now let m > n. How many solutions can the linear system have in this case?  Give an example for each case.

8. Let S = |x| , . . . , xm} be an orthogonal subset of Tm . Show that S is linearly independent.

9. Recall that the 1-norm and &-norms on Ti  are defined by

i

|x|| =       |x,|,         |x|o = ,aλλxλm |x,|.

,–|

Show that each is a norm.

10. Prove Theorem 21 from the lecture notes.