1.  [Total:  20 marks] Bob is a grown-up now.  With the pocket money from his dad Simon, Bob went to the casino to try his luck.  Being a Örst-time gambler, he decided to start by betting big-and-small.

For the sake of this question, we assume the game is fair in the sense that all rounds are independent and the probabilities of winning and losing in a round are both equal to 0.5. More precisely, we deÖne the indicator yn  as follows:

yn =『  1-1

if Bob wins in the nth round,

if Bob loses in the nth round.

The assumptions on the game given above imply that (yn)n!1  is a sequence of iid random variables with P(yn = 1) = P(yn = -1) = 0:5.

Let Vn  (in dollars) denote Bobís stake in the nth round.  The stake is determined by Bob before the nth round starts.  If Bob bets Vn  in the nth round and wins, he will gain Vn  in that round (hence receiving a total of 2Vn); otherwise he will lose Vn  (hence receiving a total of 0 dollars).  Note that Vn  may depend on the outcomes of the Örst n - 1 rounds.  A given sequence (Vn)n!1  deÖnes a betting strategy.

Let Xn  denote Bobís total gain after the nth round.  We set X0  = 0.  It is clear that Xn  is

given by

n

Xn =       Viyi .

i=1

(a)  [4 marks] DeÖne AXn  := Xn - Xn ━ 1  for n > 1. Show that the sequence (AXn)n!1  is a martingale di§erence sequence.

(b)  [3 marks] Show that E(Xn) = 0 for all n. In words, Bob will break even on average.

Suppose Bob adopts the ìgrandpaís strategyîby betting $1 in each round regardless of what happened, i.e., Vn 三 1 for all n.

(c)  [3 marks] What is the distribution of Bobís total gain after 5 rounds?

(d)  [2 marks] What is the probability that Bob will su§er a loss after 5 rounds?

Bob claims that he can beat the house by adopting the following betting strategy (letís call it ìthe bankerís strategyî): He bets $1 in the Örst round. If Bob wins in the previous round, he stops playing; otherwise he doubles the bet in the following round. Bob will keep playing until he wins for the Örst time or he uses up all the money that Simon gave him, whichever happens Örst. More precisely, we can represent the bankerís strategy as follows: V1 = 1, and

for n > 1,

Vn = 

(e)  [2 marks] What is Bobís total loss after he loses all the Örst 10 rounds, supposing that Bob has enough pocket money to survive beyond 10 rounds?

(f)  [2 marks] What is Bobís total gain after he wins for the Örst time?

(g)  [4 marks] Bob claims that by adopting the bankerís strategy he will for sure bring back home with more money than what Simon gave him if he plays long enough.  Assuming that the game is fair, do you agree with Bob? Why or why not?

2.  [Total:  16 marks] Let It  be the indicator for the stock price movement in period t (-1 = price decrease; 0 = no change in price; 1 = price increase). Suppose the price movement is a Markov process in the sense that the price movement in the current period depends only on the price movement in the previous period. The joint probability distribution of It ━ 1  and It is given in the table below, where p00 , p01 , p10 , and p11  are constants.  The row and column sums are displayed in the last column and in the last row, respectively.

(a)  [2 marks] Find E(It) and Var(It).

(b)  [2 marks] Is the process (It)t!1  stationary? Explain.

(c)  [3 marks] Find the conditional distribution of It  given that the price increases at time t - 1. Express your answer in terms of p11 .

(d)  [3 marks] Find the conditional variance of It given that the price increases at time t - 1. Express your answer in terms of p11 .

(e)  [2 marks] Suppose the stock price movement are independent. Find the value of p01 .

(f)  [4 marks] Suppose the stock price movement are positively correlated.  Find the range of values of p00 .