Instruction: (i) This is a closed-book and closed-notes exam; no calculators, no dictionaries and no cell phones; (ii) Show your work unless otherwise instructed–a correct answer without showing your work when required shall be given no credits; (iii) Write down ALL your work and your answers(including the answers for short questions) in the Answer Book.

1.  (27 points)  Short Questions (for these questions, NO need to show your work, just write down your answers in the Answer Book; NO partial credits for each question)

(i).   Which of the following statements is false?

(a) Let f be a continuous function defined for all real numbers.  If a1  = a and an+1  = f (an ) (for all n 2 1) define a convergent sequence {an }, then f has a fixed point (i.e. f (x0 ) = x0  for some x0 ).

(b) If the sequence {a1 , a3 , a5 , . . .} converges to L1  and {a2 , a4 , a6 , . . .} converges to L2  with L1   L2 , then {an }n≥1  cannot converge.

(c) If      |an | diverges, then     an  cannot converge.

(ii).   Which of the following statements is false?

(a)  Given an alternating series, if it does not satisfy the conditions in the alter- nating series test, then it must diverge.

(b) Rearranging the terms  (which means changing the order of the terms) in

&

(_1)n (1/nπ ) will never change the value of the series.

n=1

(c) If     an  is convergent but     bn  is divergent, then     (an + bn ) must be diver- gent.

(iii).   Which of the following is the interval of convergence for the series ?

(a)  {x| x is not an integer multiple of 2π}       .

(b)  {x| x is not an integer multiple of π}       .

(c)  _o < x < o                                 .

(d) diverges for all x.

(iv).   Which of the following is the Maclaurin series for cos 2x ?

&          (一1)←       n=0 6(5+sin x)←

(a)      (一 

(b)      (一 

(c)      (一 

(d)      (一 

(v).   Which of the following is the Taylor series generated by f (x) =  at x = 8 ?

(a)      (一 一8)←                .

(b)      (一  一8)←                .

(c)      (一  一8)←                .

(d)      (一 一8)← .

(vi).    _  +  _  + . . . =

(a) sin         .

(b) cos         .

(c) ln         .

(d) sin  .

(vii).   Let -u , -v and w- be nonzero vectors in space. Which of the following statements is false?

(a) -u × -v =  is equivalent to -u = k-v for some scalar k .

(b) The vector -u × (-v × w-) is parallel to the plane spanned by -v and w-.

(c) -u . -v = |-u||-v| if -u and -v are parallel.

(viii).   Which of the following statements is false?

(a) If we want to expand a function f (x) as a power series about x = 0 in the interval (_1, 1), then necessarily f has to be infinitely differentiable on the interval (i.e., derivative of all orders of f exist on the interval).

(b) If f (x) =      cn xn  for x e (_1, 1), then f (x) =      cn xn  + O(x2022 ) as x → 0.

(c) If f (0) = 0 = f(n)(0) for all positive integers n, then f has to be identically equal to 0, at least in a small open interval containing 0.

(ix).   Write down the parametric equations of the line tangent to the curve -r(t)  = cos(et )+ (3 _ t2 ) + t  at t = 0:

.

2.  (5 points) In the triangle ACB below, the angle at corner C is a right angle, and line segments CD , EF , GH, etc., are parallel, while AC , DE , FG, etc., are parallel. The drawing CDEFGHI... continues indefinitely. Is the length

|CD| + |DE| + |EF | + |FG| + |GH| + . . .

finite? If so, find it.

3.  (24 points) For each of the following series, determine whether it is convergent abso- lutely, convergent conditionally, or divergent.

&

(a)

(b)   &  (_1)n ln n

n=1

(c)   &  (_1)n  1 . 3 . 5 . . . . . (2n _ 1)

(d)        , where 0 < p < 1.

4.  (8 points) Determine the interval of convergence for the series       .

5.  (8 points) Find

tan x _ sin x

x→0  (1 + x3 )π  _ 1 .

6.  (10 points) Let f(x) be continuously differentiable on the finite interval [a, b] (i.e., f′ exists and is continuous on [a, b]), and suppose f′′  exists on the open interval (a, b). Prove the following special case of Taylor’s Theorem: there exists c e (a, b) such that

f(b) = f(a) + f′ (a)(b _ a) +  (b _ a)2 .

7.  (24 points) Consider the cycloid parametrized by

x = t _ sin t,    y = 1 _ cos t,        t e [0, 2π].

(a) Find its arclength.