1. a) In the first period, y = t = 0, and in the second period, y1  = 60000 and t1  = 5000. Her lifetime wealth is we  = y - t + (1(塞y)   = 50000.   From her utility function we know that c = c1  (since utility is equal to the lesser of per period consumption).  For example, if c = 30000 and c1  = 20000, Kristen’s utility is 20000. Decreasing first period consumption (say to 28000) and increasing second period consumption (say to 22000) makes her better off (utility is equal to 22000). The maximum utility is obtained when c = c1  and her income is exhausted.

Her budget constraint is c +  = we. Since optimality implies c = c1 , we have

c   

1 + r

c +       = 50000

This implies that c = 26190.  Savings is equal to s = y - t - c = -26190.  Kristen borrows $26190 in period 1 and consumes that amount. She will pay this amount with interest in the second period of her life. Period 2 consumption is c1  = y1 - t1 + (1 + r)s. This is equal to c1  = 60000 - 5000 + (1.1)(-26190) = 26191. Not surprisingly, c1  = c. Savings in period 2 is 0. Utility is U (c, c1 ) = min{c, c1 } = 26190.

b) we = 0 +   = 80000.  Following the same steps as above you will find that c +   =  80000,  which implies that c  =  41904.   Since y - t  =  0 in period one, savings equals -41904.  Notice here that an increase in expected income makes Kristen borrow more today –consumption smoothing motive.  Consumption in period

2 is c1   =  100000 - 12000 + (1.1)(-41904).  Solving through, c1   = 41904.  Utility is U (c, c1 ) = min{c, c1 } = 41904

Notice the importance of a well functioning banking sector.  An increase in expected income allows Kristen to borrow more today (using her future income as collateral), and enjoy higher consumption in each period of her life.

c) The history student wants to borrow $26190 in the first period, hence, a banking regulation that limits borrowing to $30000 has no effect on the student.  The finance student, however, is affected: the student wants to borrow 41904 but this is now capped at 30000. Period 1 consumption is c = 30000 and c1  = 100000- 12000+(1.1)(-30000) =

55000.  The banking regulation reduces the finance student’s period one consumption and increases period 2 consumption. Utility is lower: U (c, c1 ) = min{c, c1 } = 30000.

2. The first period budget constraint is c1 + s s y1 - t1  and the second period budget constraint is c2  s y2  - t2 + (1 + r)s. We can write the present value life time budget constraint for the consumer as c1 +  s we, where we = y1 - t1 + 塞 . The problem of the consumer is maxc1 ,c2  c1(a)c2(y)  subject to c1 +  s we. Set-up the Lagrangian and solve.  Using the first-order conditions for c1  and c2  and diving those expressions you will get c2  = c1 . Substitute this into the budget constraint to get

α   

α + γ

c2(*)  =           (1 + r)we.

An increase in the interest rate will decrease c 1(*)  because we is decreasing in the interest rate; c2(*)  is increasing in the interest rate (c2(*)   =  [(1 + r)(y1 - t1 ) + (y2 - t2 )] . An increase in the interest rate increases the returns to savings,  hence,  reducing first period consumption and raising second period consumption.

3.  a) The increase in first-period taxes induces a parallel leftward shift in the budget line.  The original budget line passes through the initial endowment E1 (see Figure below). The new budget line passes through E2. The consumer reduces both current and future consumption. In the figure the consumer’s optimum point moves from point

the consumer borrows, r. The kink occurs at the endowment, E.

b) The top panel of the figure shows the case of a consumer who was a borrower before the imposition of the tax.  This consumer is unaffected by the introduction of the tax.  The bottom panel shows the case of a consumer who was a lender before the imposition of the tax.  Initially the consumer chooses point G, and then chooses point H after the imposition of the tax.  There is a substitution effect that results in an increase in first-period consumption and a reduction in second-period consumption, and moves the consumer from point G to point J. Savings also fall from point G to point J. The income effect is the movement from point D to point B, and the income effect reduces both first-period and second-period consumption and increases savings. On net, consumption must fall in period 2, but in period 1 consumption may rise or fall. The figure shows the case in which first-period consumption increases, which is a case where the substitution effect dominates.

5 a) Draw the budget constraint when r = rl  and when r = rb .  Call these A and B

respectively. The relevant budget constraint are the bottom lines (just as in the slides and as we did in class). Call this C. For someone who is a borrower, their indifference will be tangent to the budget constraint C and to the right of the endowment point.

The case when credit markets are perfect such that r = rl for borrowers and lenders, the relevant budget constraint is A. The individual’s indifference curve will be tangent to budget constraint A and to the right of the endowment point. Clearly, this indifference curve must lie above the previous one.  The consumer is better off, will have higher consumption in period 1 and may or may not have higher consumption in period 2.

b) There is only one budget constraint in this case since r is common across borrowers and lenders.  Draw this budget constraint.  The key is to determine how  affects the budget constraint. The consumer can borrow up to maximum of , which tells us their maximum first period consumption is y - t + (which lies to the left of we1  and to the right of the endowment point). Hence, the budget constraint is downward sloping up to the point y -t+b, just as before, and becomes non-existent beyond that point – because the individual cannot borrow beyond this point. Since we are told the consumer would like to borrow more, then it must be that the indifference curve is tangent at the ‘kink’ of the budget constraint.

c) When the interest rate rises, the slope of the budget constraint becomes steeper and pivots through the endowment point.  It is still the case the budget constraint is non-existent to the right of y - t + .   Borrowers are worse off – they are on a lower indifference curve tangent to the new budget constraint – as higher interest rates make it costly for them to borrow.  Consumption in period 1 and 2 fall.  Lenders are better off and on a higher indifference curve tangent to the new budget line.  Period

1 consumption may rise or fall  (depending on the strength of the substitution and income effect) and period 2 consumption will rise.  Lending at a higher interest rate makes them better off.

6 a) First, write down the bank’s problem:  πb  = L(1 + r2 )x - L(1 + r1 ).  If the bank wants profit to equal Z , then it must be that Z = L(1 + r2 )x - L(1 + r1 ). Now solve for the lending rate that achieves this target:

Z       (1 + r1 )

xL          x