Part A

1. Assume a representative agent with utility U = u (c0 ) + E [u (c1 )] , where u(x) = x - 0.06x2 . His wealth at t = 0 is wo  and at t = 1 it is ws  in each of the possible future states of nature, s e S. There exist J assets in the economy. Let pj  denote the price of the jth   asset, and let Xs(j)  denote the payoff of that asset in state s.

(a) Derive the equilibrium price for each asset j in terms of the fundamentals of the economy.  [6 marks]

(b) Explain the intuition behind the Lucas representative agent model and connect your answer to part (a).  [6 marks]

(c) For the rest of the question assume the following: There are only two states of the world at t = 1, each occurring with probability .  Assume w0  = 2, w1  = 1, and w2  = 3 Find the price of an asset with a payoff of 4 in state 1 and 1 in state 2.  [6 marks]

(d) What is the market beta (β) of this asset?  [6 marks]       (e) What is the main critique of the Lucas model?  [4 marks]

2. The following default-free, coupon paying government (risk-free) bonds are traded in the market, each with a face value of 100 :

(a) Determine the zero-coupon term structure of (risk-free) interest rates.  [5 marks]

The following coupon paying bonds of GameStop are also traded in the market, each with a face value of 100. They all sell at par.

(b) Determine the zero-coupon term structure for GameStop’s debt.  [5 marks]

(c) Using the spreads on GameStop’s debt over risk-free debt, and assuming annual compounding, calculate the % loss GameStop’s bondholders expect to make from defaults for each of the following three years.  [6 marks]

(d) Assuming a recovery rate of 60%, calculate the default probabilities for GameStop for each of the next three years, as implied by its credit spreads.  [5 marks]

(e) Please explain, in your own words, what the concept of ”lambda default” tries to model. Also comment on what were to happen if λ = 0 or λ = ~.  [7 marks]

3.  Consider a stylised economy in which agents have mean-variance preferences.  Agents can trade three risky but uncorrelated assets.   The expected returns and standard deviations of these three assets are common knowledge.   Furthermore, there also is another asset that is issued by the central bank that has an expected return of 4% and a standard deviation of 0.

(a) Explain verbally and graphically what the significance of the tangency portfolio is in the CAPM world and what its composition is in the given economy.  [9 marks]

(b)  Calculate what the Sharpe ratio of the subspace of efficient portfolios is.  [6 marks]

(c) Use your previous answer to determine the unique equation of the capital market line.  [3 marks]

(d)  Similarly, use your previous results to determine the security market line.  [3 marks]

(e) Assume you are a pension fund with a fixed expected return target of 15%. What is the optimal way to satisfy that goal without taking any unnecessary risk?  [4 marks]

(f) How large is the residual risk in (e) that cannot be avoided?  [3 marks]

Part B

4.  Consider the following modification of the Kyle (1985) model.  There is a single risky asset with payoff  ～ N(0, σν(2)).  A risk-averse insider observes ν and places a market order x that optimizes her expected utility, 匝(-exp(-ρW˜ )), where W˜ is terminal wealth and ρ is her constant absolute risk aversion parameter. The insider has zero endowment

of the risky asset. There is also an uninformed trader placing a stochastic market order of size  ～N(0, σu(2)).

A risk-neutral market maker observes the total order flow,  y  =  x + u,  and sets a competitive price p = E(|x + u).  The market maker knows the distributions of  and .  He does not directly observe the realization of either, however, and attempts to infer ν from the order flow.  The insider behaves strategically and accounts for the dependence of the market price on her optimal order flow.

(a) The informed trader behaves strategically and accounts for the effect of her order flow on the market maker’s price by conjecturing a price p = λ(x + u). The market maker forms a conjecture x = βν about the insiders demand response function.

(i)  Solve for the informed traders demand of the risky asset as a function of ν. How does this change if the insider is risk-neutral?  [7 marks]

(ii)  Solve for the market maker’s price as a function of the total order flow. [5 marks]

(b) Your work in part (a) should have provided you with two equations for two endoge- nous variables λ and β .

(i) Without solving in closed form but rather writing your two equations in terms of a quartic polynomial f (λ), show that a linear equilibrium exists (Hint: Show that there exists λ = λ*  such that f (λ) = 0) .  State an equilibrium condition for λ in terms of the exogenous parameters of the model ρ, σν(2), σu(2).  [6 marks]

(ii) What is the equilibrium condition in the case where the insider is risk-neutral? [4 marks]

(iii) Using your results from  (a)  (ii), show that the equilibrium value of λ is de- creasing in ρ and explain the intuition for this result (Hint: Provide a graphical illustration). Would this result be affected if the insider could observe the value of noise demand u before submitting her order?  [6 marks]

5.  Consider a two-period economy with a single consumption good and two consumers, Alice and Bob.

There is uncertainty around the state of the world that is going to materialise tomorrow. Alice and Bob agree that there are three possible states of the world and agree about a state-contingent expected default on the assets.  However, they disagree about the specific probabilities of the states.

Denote these future states as s1 , s2  or s3 .  Alice thinks that the probabilities of these states are respectively π 1(A)  =  , π2(A)  =  , π3(A)  =  while Bob thinks the probabilities are π 1(B)  =  , π2(B)  =  , π3(B)  =  .

They both own one unit of the good, available at date 1 in all states of nature, and have preferences given by the logarithmic utility function, i.e.  v(x) = ln(x).  Consumption only occurs at time t = 1.

Alice and Bob can trade the three assets at time t = 0 with the following payoff matrix (columns are assets, rows are states of the world):

╱ 2 - d1

． 

1 - d1

2 - d2

4 - d3

 、

4 - d3   ．

where ds  is the expected default for each state. Let ds  = s.

(a) Are the markets complete? What is the asset span?  [6 marks]

(b)  Solve the maximization problem and find the prices of the assets.  [8 marks] (c) Is the equilibrium allocation Pareto optimal?  [6 marks]

(d) How could financial innovation help to make markets more efficient?  [4 marks] (e) Is the presence of default beneficial to market efficiency or not?  [4 marks]

Part C

6. We differentiated between unconditional  and conditional version of CAPM.  Jagan- nathan and Wang  (1996) aimed to examine the potential of conditional CAPM to explain expected returns but in order to do so, they derived two-factor unconditional CAPM. Conditional CAPM can be written in this form:

E [Ri,t+1 |It] = γ0,t + γ1,tβi,t

Unconditional (two-factor) equivalent can be written as:

E [Ri,t+1] = γ0,t + γ1 β¯i,t + cov (γ1,t, βi,t ) .

a Explain what economic mechanism/pattern a conditional CAPM (and the equiv- alent unconditional two-factor CAPM) is supposed to capture as opposed to un- conditional (one-factor) CAPM. Which part of the unconditional two-factor CAPM in equation ?? is accounting for this effect.  What happens if CAPM is tested in its unconditional form but this term is omitted, i.e., why might it be important to include this term?  [3 points]

b We will focus on whether conditional or the equivalent unconditional two-factor CAPM can explain the magnitude of a popular anomaly, B/M strategy (trading strategy based on sorting stocks by the ratio of book-to-market equity). This trad- ing strategy generates abnormal excess return relative to unconditional one-factor CAPM in the magnitude of about 0.5-1% per month.  The empirically measured standard deviation of β of this strategy is about 0.3 at monthly frequency. Suppose also that the standard deviation of monthly risk premium is about 0.5%.  Explain whether the effect that is accounted for in the two-factor unconditional CAPM

(equation ??) can explain the abnormal excess returns (alphas) of the B/M trading strategy. Why?  [3 points]

c Explain how to test the conditional CAPM directly without the need to transform it to two-factor unconditional CAPM. Did such a direct test using data for US stocks provide supportive evidence for CAPM? [4 points]

Conditioning on different types information is a common exercise in empirical asset pricing.  One such type of information are firms’ announcements of earnings.  We dis- cussed extensively the evidence from Savor and Wilson (2016) describing stock returns of stocks that announce their earnings during a given week vs.   stocks that do not announce earnings during that week.

d Briefly summarize this empirical evidence in terms of average excess returns, stan- dard deviation, Sharpe ratio, alpha and market beta.  [2 points]

e  Savor and Wilson (2016) provide a rational explanation for this evidence.  Briefly summarize why it is plausible to observe such differences in expected excess returns in a rational model. What is the risk to which announcers are exposed?  [3 points]