PART A: MULTIPLE CHOICE

1.  You monitor the performance of 5 hedge funds and have five years of data. In any year, each fund has a 40% chance of beating its benchmark, and outperformance is independent across firms and years. What is the probability that at least 1 of the funds exceeds its benchmark in all five years (to 3 d.p.)?

0.010

(b)

(c)

(d)

2.  When evaluating a series of variance forecasts using the Mincer-Zarnowitz regression

h _ h|t               1   

where h|t is the time-t variance forecast and h is the variance proxy used. What are the values of a and β that should occur when the forecasting model is correctly specified.

(a)  β = 0, no restriction on a

(b)  a = 0 ﹐ β = 1

(c)  a = 0 ﹐ β = 0

(d)  β = 1, no restriction on a

3.  Weekly returns on a portfolio are i.i.d. with a Standardized Student’s t6 ╱0．25% ﹐ (3%)2 ∶ distri- bution. What is the 1-week 5% Value-at-Risk of a portfolio with £1,000,000,000 under man- agement?

(a)

4.43%

(c)  4.51%

(d)  4.76%

4.  Why is the QLIK loss function useful when evaluating volatility models?

(a)  The QLIK fixes the heteroskedastic residual in the Mincer-Zarnowitz test. (b)  The QLIK improves the power in Diebold-Mariano tests.

(c)  The QLIK can be used as an objective when estimating the parameters of the MZ regres- sion.

(d)  The QLIK improves the power of the standard Mincer-Zarnowitz test.

5.  Why does LASSO estimate some coefficients to be exactly 0?

(a)  Variables that are uncorrelated with the LHS variable have 0 coefficients, and LASSO detects this.

(b)  LASSO automatically finds the best model among all modes with a fixed number of in- cluded variables k.

(c)  The penalty has a large derivative near 0 so that a small relaxation in the constraint imposes a higher cost than the reduction in SSE near 0.

(d)  It does not. Ridge Regression estimated coefficients near 0.

6.  How does the GJR-GARCH model improve on the GARCH model?

(a)  It models the log-variance instead of the variance and so is always positive. (b)  It allows for more lags of the squared return and variance.

(c)  It adds an asymmetry term that depends on the sign of the past return.

(d)  It models the standard deviation instead of the variance.

7.  In a hypothesis test, the critical value of the test

(a)  determines the probability the null is rejected given the alternative is true. (b)  is the probability of a Type I error.

(c)  determines the rejection region of the test.

(d)  is the probability of a Type II error.

8.  Why are Random Forest models challenging to use in portfolio tracking?

(a)  They tend to produce models that are too large (too many leaves).

(b)  These models are indicator-function regression and so require dynamic portfolio trading.

(c)  The coefficient are shrunk towards zero and so are biased.

(d)  They are not versions of linear regression models.

9.  In the AR model for lnRV, ln RVt = 0．02 + 0．98lnRVt 一1  what is the 3-step ahead forecast of RV if et i. N ╱0 ﹐ (0．25)2 ∶ when the final observed value of RVT = 2?

(a)

(b)

(c)

(d)

10.  Why is the parsimony principle needed?

(a)  It selects the size to use in General-to-Specific model selection.

(b)  It ensures that the coefficients estimated in the MA are unique.

(c)  It uses the BIC to perform consistent model selection that will select the true model in large samples.

(d)  Time series models are not always unique, and so there are multiple models that can generate the same autocorrelation structure.

11.  Which of the following statements are true about the ARCH-LM test?

(a)  It requires estimating an ARCH(p) model.

(b)  It is a test for autocorrelation in the squared residuals.

(c)  It uses a two-step approach where residuals are first computed, and then a second-stage regression is estimated.

(d)  It tests whether the constant is zero.

(e)  The asymptotic distribution is a xp(2) where p is the number of parameters in the regression.

12.  Which of the processes listed is not covariance stationary when {et} ~ WN(0﹐ a2 ) (for any choice of initial condition)?

(a)  Yt = 1．9Yt 一1 _ Yt 一2 +et

(b)  Yt = 0．7 +0．4Yt 一1 +et

(c)  Yt = et _ et 一1

(d)  Yt = u +    i(1)1(0) i x et 一i+et

13.  Consider the model Yt  = 0．2 + 0．9Yt 一1 + et, where et i.  N(0﹐ ae(2)) when Y0  ~ N ╱2 ﹐ 100ae(2)← . Which properties are wrong?

(a)  V [Yt] grows over time.

(b)  The estimated 1st autocorrelation, 1 , has a non-standard limiting distribution.

(c)  There is no mean reversion in long-run forecasts of Yt so that Et[Yt+h] = Yt for any h 2 1.

(d)  In a regression Yt = a +βYt 一1 +et, the OLS estimate  is inconsistent.

14.  If X and Y are bivariate normal with means uX = 1 and uY = 2, variances of 1 and a correlation of 60%, which of the statements below is correct?

(a)  The population R2 of a regression of Y on X and a constant is 60%

(b)  E [Y |X = x] = 1．4 +0．6x

(c)  V [Y |X] ~ 1 _ 0．6 = 0．4

(d)  Corr [X ﹐ Y _ 1．4 _ 0．4X] = 0

15.  How is Least Absolute Deviations regression used to complement Least Squares?

It is less sensitive to outliers.

(b)  It provides an alternative model of E[Y |X].

(c)  It models the median[Y |X] instead of the mean, but if the distribution of errors is symmet- ric, these are the same.

(d)  Asymptotically, these estimators are always the same.

16.  What restrictions are required in an APARCH model to get an TARCH(1,0,1)?

at8 = o +a1 (|et 一1 | +y1 et 一1 )8 +β at8一1

(a)  y = 0

(b)  y = 1

(c)  β = 0

(d)  8 = 1

(e)  β = 1 _ a

17.  Which of the following statements are true about the covariance operator, Cov[.] and W, X, and Y are scalar random variables and all other quantities are constants:

(a)  Cov[a + X ﹐ bX] = V[X]

(b)  Cov[W﹐ X +Y] = Cov[W﹐ X] + Cov[W﹐ Y]

(c)  Cov[X ﹐ Y] = 0 if and only if X and Y are independent

(d)  Cov[X ﹐ Y] = E[XY]

18.  Which of the nulls below can be tested using a linear equality restriction in the linear regression

model

k

Yi =      βjXi﹐ j+ ei?

j=1

(a)  H0 :     2 βi = 1

(b)  H0 : β1 x β2x．．．βk = 0

(c)  H0 : β2 = β3 =．．．= βk = 0

(d)  H0 : β3 = 0 or β4 = 0

19.  Why does White’s covariance estimator simplify to the classic covariance estimator when the

data are homoskedastic in the linear regression model

Yi = xiβ + ei?

(a)  The expectation of ei(2) does not vary with the regressors or their cross-products. (b)  xi is uncorrelated with i

(c)  ei is independent ofXi

(d)    a2 ←XX

20.  How does CaViaR differ from ARCH-model-based Value-at-Risk models?

(a)  It uses the HIT to drive the quantile dynamics.

(b)  It directly models the quantile of the standardized returns.

(c)  It directly models the quantile of the returns.

(d)  It is easier to estimate parameters of a CaViaR model than a GARCH since there is no likelihood to maximize.

PART B: LONG ANSWER

1.  Suppose Yi|Xi  = xi  ~ Exponential (xiβ ) where xi  > 0 and β > 0.   This can be equivalently written Yi ~ Exponential (Ai) where Ai = xiβ . The PDF of an exponential random variable with parameter A is

fY (y) = A exp (_Ay)．

Assume n pairs (yi ﹐ xi) are observed

(a)  [20%] What is the conditional log-likelihood of the data?

(b)  [35%] Compute the maximum likelihood estimator  .

(c)  [30%] What is the asymptotic distribution of ′n ╱ _ β ∶ given X1 ﹐．．．﹐ Xn?

(d)  [25%] Explain how you would perform a likelihood-ratio test for the null H0  : β = 1．5 against the alternative H1 : β  1．5.

2.  Consider the AR(2)-ARCH(2) model

Yt = 00 + 01Yt 一1 + 02Yt 一2 + et

et = atet

at2 = o + a1 et一(2)1 + a2 et一(2)2

et i. N (0﹐ 1)

(a)  [25%] What conditions are required for 00 , 01 , 02 , o, a1 , and a2  for the model to be covariance stationary for suitably chosen initial conditions?

(b)  [15% each] Assuming the conditions identified in part (a) hold, what are the values of the following quantities:

i.  E [Yt]

ii.  Et[Yt+1]

iii.  Et[Yt+2]

iv.  Vt[Yt+1]

v.  Vt[Yt+2]

3.  Answer the following questions:

(a)  [40%] Suppose Yt  = u + et  where et  is a white noise process.  What is the asymptotic distribution of ′T ( _ u)?