1. Autocorrelation and ARMA models

(a) Describe how Momentum- and Reversal-based trading strategies relate to re-

turn autocorrelations. Be as specific as possible.

Solution:

Momentum trading strategies:  positive autocorrelations at horizons of less than one year.

Reversal trading strategies: negative autocorrelation at horizons of more than one year or less than one month (short-term reversal).

(b) Assume returns follow the process:

rt+1     =   0.01 + 0.8 x xt + 0.05 x εt+1 ,

xt+1     =   0.7 x xt + 0.25 x xt_1 _ 0.01 x εt+1 ,

where εt+1  is an i.i.d. standard Normal shock.

i.  Give the most parsimonious ARMA process for returns implied by the above equations. That is, give the order of the AR and MA terms, as well as the values of the AR and MA coefficients.

Solution:

From the first equation, we can get xt  =

If we put it back into second equation, we can see rt  is an ARMA(2,2) process which follows,

rt+2  = 0.0005 + 0.7rt+1 + 0.25rt _ 0.0125εt _ 0.043εt+1 + 0.05εt+2

ii. What is the standard deviation of expected returns, that is, ←Var (Et (rt+1))? Solution:

Et (rt+1) = 0.01 + 0.8 x xt

Var (Et (rt+1)) = 0.82  x Var (xt )

Var(xt ) = 0.72 Var( xt ) + 0.252 Var(xt ) + 0.012 + 2 x 0.7 x 0.25 x Var(xt ) = 0.000828 and ←Var (Et (rt+1)) = 0.023

(c) Let πt  be year-on-year (YoY) inflation where t measures months.  Thus, the February 2021 value of πt is the price-level at the end of February 2021 divided by the price level at the end of February 2020. You believe monthly deseason- alized inflation is stationary and follows an AR(1) process. What process does the YoY inflation πt  follow?  Write down the ARMA process for πt  including

as much as possible about the coefficients in this equation.

Solution:

This process is captured by ARMA(1,11) with coefficients shown above.

(d) Write down the conditional log-likelihood function for an AR(2) process as-

suming the residuals are Normally distributed, where you condition on the two

first observations in the sample.

Solution:

The log-likelihood function is:

T

lnp(r1 , r2 , ..., rT ; Θ) =       lnp(rt |rt_1 , ..., r1 ; Θ) + lnp(r1 , r2 ; Θ)

t=3

= _ t3 (ln(2π) + ln(σε(2)) + )

+ lnp(r1 , r2 ; Θ)

2. VAR models, return predictability and the present-value restriction

(a) Write down a VAR(1) that has two state-variables: log return-on-equity (et ) and the log market-to-book ratio (mbt ).  Clearly define all variables and pa-

rameters.

Solution:

Zt+1 _ µ = φ(Zt _ µ) + εt+1  where Zt  = (et , mbt )/  and µ = (µ1 , µ2 )/

φ =

┐

The residual vector εt  = (εet, εmbt) has a 2 x2 covariance matrix Σ. We could assume the residuals are jointly normal and i.i.d., but this is not needed for consistency. You do need your residuals to be stationary.

(b) Explain in words how you would estimate the parameters of this VAR.Solution: Estimate the model via OLS. That is, run the following two regressions:        et+1  = φ 10 + φ11 et + φ12mbt + εe,t+1

mbt+1  = φ20 + φ21 et + φ22mbt + εmb,t+1

OLS is consistent even if the errors are non-normal and/or not i.i.d. In the case of heteroskedasticity and autocorrelation, the standard errors of the regression coeffcients must be estimated accordingly using, e.g., Newey-West standard errors.

(c) Recall from Homework 4 that we can write log returns as

rt+1  = κ x mbt+1 _ mbt + et+1 ,                                 (1)

where 0 < κ < 1 is a log-linearization constant (e.g., κ = 0.96). Iterate this equation forward to get an expression for mbt as a function of the infinite sum of future et+1 and rt+1. Using this equation, why are firm market-to-book ratios different across time and stocks?

Solution:

mbt  = Et

κj _1 et+j  _ Et

κj _1rt+j

Firm market-to-book ratios are different across time and stocks either because future expected return on equity or expected future returns are different.

(d) Using the VAR you wrote down in 2.a and the equation above, derive the formulas for the following expectations:

i.  Et (rt+1), Et (rt+2).

ii.  Et  ╱ ρj rt+j、, where |ρ| < 1.

iii. Explain why you can get expected returns from a VAR that only uses market-to-book ratios and return-on-equity (the log of 1+earnings over lagged book equity).  That is, what are the statistical and economic re-

strictions we are using?

Solution:

Et (rt+1) = κEt (mbt+1) _ mbt + Et (et+1)

Et (rt+2) = κEt (mbt+2) _ Et (mbt+1) + Et (et+2)

In the VAR, the eigenvalues of φ need to all be less than 1. Define the vector ee  = (1, 0) and emb  = (0, 1).

Thus, ee Zt+k  = et+k  and emb Zt+k  = mbt+k

The k-period ahead forecast at time t is:

Et (ee Zt+k) = ee (µ + φk (Zt  _ µ)) and Et (emb Zt+k) = emb (µ + φk (Zt  _ µ)) Where µ = (I2 _ φ 1 )_1 φ0

Therefore, we could get the cases for k=1 and k=2, which are, Et (et+1) = ee (µ + φ(Zt _ µ)), Et (et+2) = ee (µ + φ2 (Zt _ µ)).  Similarly we could get Et (mbt+1) and Et (mbt+2).

Et (mbt+1) = emb (µ + φ(Zt _ µ)), Et (mbt+2) = emb (µ + φ2 (Zt _ µ)). Finally we could get,

Et (rt+1) = κemb (µ + φ(Zt _ µ)) _ mbt + ee (µ + φ(Zt _ µ))

Et (rt+2) = κemb (µ + φ2 (Zt _ µ)) _ emb (µ + φ(Zt _ µ)) + ee (µ + φ2 (Zt _ µ))

Et  ╱ ρj rt+j、= Et  ╱ ρj (κ x mbt+j  _ mbt+j _1 + et+j)、

= emb ((κ _ 1) µ + (κρφ _ ρ)(I2 _ ρφ)_1 (Zt _ µ)) + ee ( µ + ρφ(I2 _ ρφ)_1 (Zt _ µ))

We need to assume that κ is less than 1, limj →o κj mbt+j   = 0.  We are simply imposing the present value restriction in the initial approximation.

3. Volatility models

(a)  Current market volatility is higher than the historical average of market volatil- ity from a long sample.  Given this information and the stylized facts about market  return volatility,  what  can you  say  about  expected  future  market volatility?

Solution:

The expected future volatility is likely to stay high in the near-term since market return volatility is clustered and persistent, but in the long-term it will revert back (in expectation) to the unconditional mean.

(b) Explain what ’realized variance’ is.  Use both a mathematical expression and an intuitive description.

Solution:

σˆt 2  =

RV is simply the sample variance over time t. With high frequency data, this can give an accurate description of variance over a short time interval.   It assumes that errors are not autocorrelated.

(c) A Variance Swap is a very popular over-the-counter derivative contract.  In the contract, the fixed leg pays a fixed dollar amount every month, while the floating leg pays an amount proportional to the realized variance in each month based on daily data. Assume any variance risk premium and the risk-free rate are both zero.

In particular, the payoff to a long variance position in a 2-month swap is: Payofft+2  = RVt+1 + RVt+2 _ 2 x Ft ,

where RVs  is the realized variance in month s and Ft  is the fixed payment decided at the start of the swap (at time t). Recall that swaps have zero value at inception, thus Ft  is set so that Et (Payofft+2) = 0.  Assume RV follows an AR(1) process. Derive a formula for the fair time t swap rate, Ft .              Solution:

If we assume RVt  = φ0 + φ1 RVt_1 + εt

Et (Payofft+2) = Et (RVt+1) + Et (RVt+2) _ 2 x Ft

= φ0 + φ1 RVt + φ0 + φ1 (φ0 + φ1 RVt ) _ 2 x Ft  = 0

Ft  = ((φ1 + φ1(2))RVt + 2φ0 + φ1 φ0 )

(d)  Consider the GARCH(1,1) process σt(2)+1  = 0.1+0.07εt(2) +0.92σt(2). Using the fact that σt(2)  = Et_1 [εt(2)], write this GARCH(1,1) as an ARMA process in εt(2)  includ- ing the values of the ARMA coefficients. Why is it not technically appropriate to assume the residuals in this ARMA process are Normally distributed?       Solution:

εt(2)  = σt(2) + κt

εt(2)+1  = 0.1 + 0.07εt(2) + 0.92(εt(2) _ κt ) + κt+1

εt(2)+1  = 0.1 + 0.99εt(2) + κt+1 _ 0.92κt

This shows εt(2)  follows an ARMA(1,1) process. It is not appropriate to assume the residuals are normally distributed because it may drive ε2  to be negative.

4. Factor models

You are evaluating a long-short equity hedge fund and are given the below regression results:

Rf(e)und,t  = 0.03 + 1.5 x MKTt _ 0.3 x HMLt _ 0.2 x SMBt + 0.2 x εt ,     (2)

where the factors are the FF3 factors and where ε is a standard Normal error term. Assume all coefficients are significant.

(a) What investment ’styles’ would you say characterizes this fund?

Solution:

The fund invests in growth companies and large companies.