1. Autocorrelation and ARMA models

(a) Describe how Momentum- and Reversal-based trading strategies relate to re-

turn autocorrelations. Be as speciÖc as possible.

(b) Assume returns follow the process:

rt+1     =   0:01 + 0:8 × xt + 0:05 × "t+1 ;

xt+1     =   0:7 × xt + 0:25 × xt_1 x 0:01 × "t+1 ;

where "t+1  is an i.i.d. standard Normal shock.

i.  Give the most parsimonious ARMA process for returns implied by the above equations. That is, give the order of the AR and MA terms, as well as the values of the AR and MA coe¢ cients.

ii. What is the standard deviation of expected returns, that is, √Var (Et (rt+1))?

(c) Let πt  be year-on-year (YoY) ináation where t measures months.  Thus, the February 2021 value of πt  is the price-level at the end of February 2021 di- vided by the price level at the end of February 2020.  You believe monthly deseasonalized log ináation is stationary and follows an AR(1) process. What process does the log of YoY ináation πt follow? Write down the ARMA process including as much as possible about the coe¢ cients in this equation.

(d) Write down the conditional log-likelihood function for an AR(2) process as- suming the residuals are Normally distributed, where you condition on the two Örst observations in the sample.

2. VAR models, return predictability and the present-value restriction

(a) Write down a VAR(1) that has two state-variables: log return-on-equity (et ) and the log market-to-book ratio (mbt ). Clearly deÖne all variables and para- meters.

(b) Explain in words how you would estimate the parameters of this VAR.

(c) Recall from Homework 4 that we can write log returns as

rt+1  = 凡 × mbt+1 x mbt + et+1 ;                               (1)

where 0 < 凡 < 1 is a log-linearization constant (e.g., 凡 = 0:96).  Iterate this equation forward to get an expression for mbt  as a function of the inÖnite sum

of future et+1   and rt+1.   Using this equation, why are Örm market-to-book ratios di§erent across time and stocks?

(d) Using the VAR you wrote down in 2.a and the equation above, derive the formulas for the following expectations:

i. Et (rt+1), Et (rt+2) :

ii. Et  (E βj rt+j）, where IβI < 1.

iii. Explain why you can get expected returns from a VAR that only uses market-to-book ratios and return-on-equity (the log of 1+earnings over lagged book equity).  That is, what are the statistical and economic re- strictions we are using?

3. Volatility models

(a)  Current market volatility is higher than the historical average of market volatil- ity from a long sample.  Given this information and the stylized facts about market  return volatility,  what  can you  say  about  expected  future  market volatility?

(b) Explain what írealized varianceíis.  Use both a mathematical expression and an intuitive description.

(c) A Variance Swap is a very popular over-the-counter derivative contract.  In the contract, the Öxed leg pays a Öxed dollar amount every month, while the áoating leg pays an amount proportional to the realized variance in each month based on daily data. Assume any variance risk premium and the risk-free rate are both zero.

In particular, the payo§ to a long variance position in a 2-month swap is:

Payofft+2  = RVt+1 + RVt+2 x 2 × Ft ;

where RVs  is the realized variance in month s and Ft  is the Öxed payment decided at the start of the swap (at time t). Recall that swaps have zero value at inception, thus Ft  is set so that Et (Payofft+2) = 0.  Assume RV follows an AR(1) process. Derive a formula for the fair time t swap rate, Ft .

(d)  Consider the GARCH(1,1) process σt(2)+1  = 0:1+0:07"t(2) +0:92σt(2). Using the fact that σ t(2)  = Et_1 ["t(2)], write this GARCH(1,1) as an ARMA process in "t(2)  includ- ing the values of the ARMA coe¢ cients. Why is it not technically appropriate to assume the residuals in this ARMA process are Normally distributed?