1. Autocorrelation and ARMA models (30 pts)

(a)  (10 points) Consider the following ARMA-model:

y芒+1  = 0.5 + 0.9y芒 - 0.25ε芒 + ε芒+1 ,                              (1)

where ε芒  is i.i.d. standard Normal for each t.

i.What are the unconditional mean and variance of this process? ii.Assume y芒  = 0.3 and ε芒  = 1. What are E芒 [y芒+1] and E芒 [y芒+2]?  Solution:

i.E(y芒 ) = 1o一o(0)1   = 5

Var(y芒 ) = σe(2)  1+9一(一)o(2)o21191   = 3.22

ii.E芒 (y芒+1) = 0.52

E芒 (y芒+2) = 0.5 + 0.9E芒 (y芒+1) = 0.968

(b)  (10 points) You have a sample of the return on equity for Google.  The un- conditional mean of roe is 0.1.  The unconditional variance is 0.22 .  The first, second, and third order autocorrelations are (rounded to two decimal places) 0.9, 0.81, and 0.66.

i. What is the most parsimonious ARMA process that captures this pattern? (Example: AR(1), AR(2), MA(1), MA(2), ARMA(1,1) or other?) Explain how you got to your answer.

ii. Write down the ARMA model you choose, including the values of all coef-

ficients in the model (similar to Equation 1 given above).

Solution:

The most parsimonious process is AR(3), MA(3), or ARMA(1,2). Besides φ0 and σ 2  , three parameters are needed here to match with the first, second, and third-order covariances. AR(3) is used as an example of how to get the coeffi- cients of the model. We could plug the numbers into the following equations to solve the coefficients.

r芒  = φ0 + φ1r芒一1 + φ2r芒一2 + φ3r芒一3 + e芒 , e芒  ～ WN(0,σe(2))

E =           o0               

1一o1 一o2 一o3

Var = φ1(2)Var+φ2(2)Var+φ3(2)Var+σ2 +2φ1 φ2 Cov(1)+2φ1 φ3 Cov(2)+2φ2 φ3 Cov(1) Cov(1) = φ1 Var + φ2 Cov(1) + φ3 Cov(2)

Cov(2) = φ1 Cov(1) + φ2 Var + φ3 Cov(1)

Cov(3) = φ1 Cov(2) + φ2 Cov(1) + φ3 Var

(c)  (10 points) Assume monthly inflation follows an AR(1) process with autocorre- lation 0.99. Due to seasonalities you want to estimate a model using 12-month sums of inflation overlapping monthly.  That is, if the first observation is the sum of monthly inflation January through December, the second observation is the sum from February through January, etc.

Ignoring the intercept term, give the ARMA process this data follows, includ- ing the value of the coefficients. Remember to show your work.

Solution:

r芒  is the monthly inflation and y芒  is the 12-month sums of inflation. r芒+1  = φ 1r芒 + e芒+1(φ1  = 0.99)

( r芒一i  = φ 1 ( r芒一i一1 +( e芒一i

y芒  = φ 1y芒一1 +( e芒一i

This process is captured by ARMA(1,11) with coefficients shown above.

2. VAR models, return predictability and the present-value restriction(30 pts)

(a)  (6 points) Write down a VAR(1) that has two state-variables: log market re- turns (r芒 ) and the log price-dividend ratio (pd芒 ).  Clearly define all variables

and parameters.

Solution:

Z芒+1 - µ = φ(Z芒 - µ) + e芒+1  where Z芒  = (r芒 , pd芒 )′  and µ = (µ1 , µ2 )′

φ =  

┐

The residual vector e芒  = (er#, e夕d#) has a 2×2 covariance matrix Σ.  We could assume the residuals are jointly normal and i.i.d., but this is not needed for consistency. You do need your residuals to be stationary. The could be implied from the assumptions you state.  Your residual assumption is important for the discussion of the estimation below.

(b)  (6 points) Explain in words how you would estimate the parameters of this VAR.

Solution:

Estimate the model via OLS. That is, run the following two regressions: r芒+1  = φ01 + φ11r芒 + φ12pd芒 + er,芒+1

pd芒+1  = φ02 + φ21r芒 + φ22pd芒 + e夕d,芒+1

OLS is consistent even if the errors are non-normal and/or not i.i.d. In the case of heteroskedasticity and autocorrelation, the standard errors of the regression coeffcients must be estimated accordingly using, e.g., Newey-West standard errors.

(c)  (6 points) Using the VAR you wrote down in 2.a, derive the formulas for the following expectations:

i.  E芒 (r芒+1), E芒 (r芒+2) .

ii.  E芒  ╱ ( ρj r芒+j、, where |ρ| < 1.

Solution:

i.The eigenvalues of φ need to all be less than 1.

Define the vector er   =  (1, 0).   Thus,  er Z芒+亿   =  r芒+亿.   The k-period ahead forecast at time t is: E芒 (er Z芒+亿) = er (µ+φ亿 (Z芒 - µ)). Where µ = (I2 - φ 1 )一1 φ0

Therefore, we could get the cases for k=1 and k=2, which are, E芒 (r芒+1) = er (µ + φ(Z芒 - µ)).

E芒 (r芒+2) = er (µ + φ2 (Z芒 - µ)).

ii.E芒  ╱ ( ρj r芒+j、

= er (( ρj µ +( ρj φj (Z芒 - µ))

= er (  1o一o µ + ρφ(I2 - ρφ)一1 (Z芒 - µ))

(d)  (6 points) Define DR芒  = E芒  ╱ ( ρj r芒+j、.  Derive a formula that uses your VAR to get an expression for the cash flow component of the pd-ratio: CF芒  = E芒  ╱ ( ρj ∆d芒+j、.

Solution:

Denote the vector e夕 d = (0, 1). Thus, e夕d Z芒  = pd芒 .

Campbell-Shiller Decomposition gives us,

pd芒  = constant + E芒 (( ρj 一1 ∆d芒+j) - E芒  ╱ ( ρj 一1r芒+j、

So we could have the following formula,

CF芒  = ρe夕d Z芒 + DR - ρ × constant

(e)  (6 points) Now, you want to instead estimate a VAR(2) using the same vari- ables (returns and pd-ratio).  Write this 2-variable VAR(2) in the form of a 4-variable VAR(1).

Solution:

┌ r芒+1 ┐      ┌ φ01 ┐      ┌ φ 11     φ 12     φ 13     φ 14 ┐  ┌  r芒    ┐      ┌ e1芒+1┐

'(')pd芒+1 !(!)      '(')φ02 !(!)      '(')φ21     φ22     φ23     φ24 !(!)  '(') pd芒    !(!)      '(')e2芒+1 !(!)

'  r芒     !      ' 0  !      ' 1      0      0      0  !  ' r芒一1   !      '  0   !

'       '      '    '      '                           '  '       '      '      '

3. Volatility models(20 pts)

(a)  (5 points)Give the three main stylized facts about market return volatility? Solution:

1) Volatility clusters.  2) Volatility is stationary.  3) Leverage effect: negative returns are followed by larger increase in volatility than the positive returns.

(b)  (5 points) Let σ芒(2)   = E芒一1 [ε芒(2)] . Explain why an AR(1) process for ε芒(2)  is not

appropriate for modeling σ芒(2) .

Solution:

Since e芒(2)+1  = σ芒(2)+1  + κ芒+1, what we could observe is conditional variance plus noise.  This means that AR(1) process for e芒(2)  is not appropriate for modeling σ芒(2). Also, the shock in AR(1) model could be both positive and negative, which may cause e芒(2)  to turn negative.

(c)  (5 points) Consider the GARCH(1,1) process σ芒(2)+1  = 0.1 + 0.08ε芒(2) + 0.9σ芒(2).  If σ芒(2)  = 0.22  and ε芒(2)  = 0.12 , what is E芒  ┌σ芒(2)+2 ┐?

Solution:

E芒 σ芒(2)+1  = 0.1368

E芒 σ芒(2)+2  = 0.1 + (0.08 + 0.9) × 0.1368 = 0.234

(d)  (5 points) What differentiates an EGARCH(1,1) from a GARCH(1,1)? Solution:

EGARCH could capture leverage effect.

4. Factor models(20 pts) You are evaluating a long-short equity hedge fund and are given the below regression results:

Rf(e)and,芒  = 0.05 + 0.5 × MKT芒 - 0.8 × HML芒 + 0.8 × SMB芒 + 0.1 × ε芒 ,     (2)

where the factors are the FF3 factors and where ε is a standard Normal error term. Assume all coefficients are significant.

(a)  (5 points) What investment ’styles’ would you say characterizes this fund? Solution:

The fund invests in growth companies and small companies.

(b)  (5 points) Describe in detail how you would construct a factor-neutral version of this fund.  Give the expression for the return on this factor-neutral fund

(denote the ensuing return R芒(a)).

Solution: