1. Autocorrelation and ARMA models

(a)  Consider the following ARMA-model:

yt+1  = 0:5 + 0:9yt x 0:25"t + "t+1 ;                              (1)

where "t  is i.i.d. standard Normal for each t.

i. What are the unconditional mean and variance of this process?

ii. Assume yt  = 0:3 and "t  = 1. What are Et [yt+1] and Et [yt+2]?

(b) You have a sample of the return on equity for Google. The unconditional mean of roe is 0:1. The unconditional variance is 0:22 . The Örst, second, and third order autocorrelations are (rounded to two decimal places) 0:9, 0:81, and 0:66.

i. What is the most parsimonious ARMA process that captures this pattern? (Example: AR(1), AR(2), MA(1), MA(2), ARMA(1,1) or other?) Explain how you got to your answer.

ii. Write down the ARMA model you choose, including the values of all coef- Öcients in the model (similar to Equation 1 given above).

(c) Assume monthly ináation follows an AR(1) process with autocorrelation 0:99. Due to seasonalities you want to estimate a model using 12-month sums of ináation overlapping monthly.  That is, if the Örst observation is the sum of monthly ináation January through December, the second observation is the sum from February through January, etc.

Ignoring the intercept term, give the ARMA process this data follows, includ- ing the value of the coe¢ cients. Remember to show your work.

2. VAR models, return predictability and the present-value restriction

(a) Write down a VAR(1) that has two state-variables: log market returns (rt ) and the log price-dividend ratio (pdt ). Clearly deÖne all variables and parameters.

(b) Explain in words how you would estimate the parameters of this VAR.

(c) Using the VAR you wrote down in 2.a, derive the formulas for the following expectations:

i. Et (rt+1), Et (rt+2) :

ii. Et  (S oj rt+jj, where IoI < 1.

(d) DeÖne DRt  = Et  (S oj rt+jj. Derive a formula that uses your VAR to get         an expression for the cash áow component of the pd-ratio: CFt  = Et  (S oj Adt+jj.

(e) Now, you want to instead estimate a VAR(2) using the same variables (returns and pd-ratio). Write this 2-variable VAR(2) in the form of a 4-variable VAR(1).

3. Volatility models

(a)  Give the three main stylized facts about market return volatility?

(b) Let 7 t(2)  = Et_1 ["t(2)] : Explain why an AR(1) process for "t(2)  is not appropriate for modeling 7 t(2) .

(c)  Consider the GARCH(1,1) process 7 t(2)+1  = 0:1 + 0:08"t(2) + 0:97t(2).  If 7t(2)  = 0:22 and "t(2)  = 0:12 , what is Et  [7 t(2)+2]?

(d) What di§erentiates an EGARCH(1,1) from a GARCH(1,1)?

4. Factor models

You are evaluating a long-short equity hedge fund and are given the below regression results:

Rf(e)und;t  = 0:05 + 0:5 × MKTt x 0:8 × HMLt + 0:8 × SMBt + 0:1 × "t ;     (2)

where the factors are the FF3 factors and where " is a standard Normal error term. Assume all coe¢ cients are signiÖcant.

(a) What investment ístylesíwould you say characterizes this fund?

(b) Describe in detail how you would construct a factor-neutral version of this fund.  Give the expression for the return on this factor-neutral fund (denote the ensuing return Rt(a)).

(c) What is the expected return and Sharpe ratio of this factor-neutral fund?