Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MAT141 – Euclidean Geometry – Winter 2022

Homework Eight

For references, consult §XXI–XXIII of the lecture notes or Ch. 9 of Greenberg.

1.     (i) Prove that GL2 (R) is a group. (ii) Prove that O2 (R) is a group.

2.  Consider the following isometries of R2 . Let the elements of the Euclidean group be represented by 3 x 3 matrices.

(i) Write down a matrix A which represents rotation by  followed by trans- lation by the vector (3, 0).

(ii) Find the point in R2  which is fixed by A.

(iii) Write down a matrix B which represents reflection in the y-axis followed by translation by the vector (4, 0).

(iv) Find the equation of the line in R2  which is fixed by B .

3.  Show, by the following two different methods, that there are exactly 432 auto- morphisms of the affine plane A2 (F3 ).

(i)  Count the number of elements in Aff2 (F3 ).

(ii)  Count point-by-point how many possibilities exist for the image of each point in an automorphism of A2 (F3 ).

4.     (i) How many matrices belong to the group GL3 (F3 )?

(ii) How many distinct elements belong to the group PGL3 (F3 )?      

(iii) How many automorphisms does the projective plane P2 (F3 ) admit?