Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECON0063: Topics in Money and Finance

Assignment 3

1.  Consider the one-period Glosten-Milgrom model, where the final value of the security, w, can be wH , wL , or wM  = (wH + wL )/2, with probabilities 9/2, 9/2 and 1 − 9, respectively. Market makers are competitive and risk-neutral, and do not know w.  In each period, a single trader comes to the market: with probability 1 − u, he is a noise trader, who buys or sells 1 unit with probability 1/2 each; with probability u he is an informed trader, who knows security’s true value and so he buys when w = wH  and he sells when w = wL .

(a)  Compute the equilibrium bid and ask prices.

(b) Derive the bid-ask spread.

(c) How does the spread changes when 9 increases? Intuitively, why?

2.  Consider the multi-period Glosten-Milgrom model, where at time t the probability that market makers assign to the value of the security, w, being wH  is .t  and that of it being wL  is 1 − .t . Market makers are competitive and risk-neutral, and do not know w. In each period, a single trader comes to the market: with probability 1 − u , he is a noise trader, who buys or sells 1 unit with probability 1/2 each; with probability u he is an informed trader, who knows security’s true value and so he buys when w = wH  and he sells when w = wL . Notice that in this model we can measure the volatility of the fundamental value by wH − wL , i.e. by the range of the two possible values that the final value of the security can take.

Recall that, in this model, upon receiving a buy order at time t, the dealers’ updated expectation of the security’s value is the weighted average of wH  and wL , where . and 1 − . are the updated probability weights:

At(+)  = .wH + (1 − .)wL ,

while upon receiving a sell order at time t, the dealers’ updated expectation of the secu- rity’s value is the weighted average of wH  and wL , where . and 1 − . are the updated probability weights:

At(−)  = .wH + (1 − .)wL ,

where

.   =   .t − 1 ,

(1  u)           

Moreover, recall that the transaction price at date t is

pt  =    

Hence the transaction price can be written as

pt  = At  = .twH + (1 − .t )wL ,

where .t  = . upon receiving a buy order at time t, and .t  = . upon receiving a sell order at time t.

(a) Using only these expressions, compute an expression for the equilibrium bid-ask

spread at any time t, and show how it varies as a function of fundamental volatility wH  − wL . What is the intuitive explanation for your finding?

(b) Again using only these expressions, compute an expression for the squared pricing

error at time t, first under the assumption that the true value of the security is high, i.e.  (pt  − wH )2 , and then under the opposite assumption that the true value of the security is low, i.e.  (pt  − wL )2 .  In both cases, show how the squared pricing error varies as a function of fundamental volatility wH  − wL , for given .t .  What is the implication of your finding for the speed of price discovery?  What is its intuitive explanation?

(c)  Go back to the two expressions (pt − wH )2 and (pt − wL )2 that you have derived under point b, and recall that the prior probability of the security being high-valued or low valued is 1/2, i.e.  .  = 1/2. If the true value of the security is wH , how will .t  and the squared pricing error (pt  − wH )2  behave over time?  If instead the true value of the security is wL , how will .t  and the squared pricing error (pt  − wL )2  behave over time?

3.  Consider a modified version of the one-period Glosten-Milgrom model, where the security can have four possible final values (instead of two), each with equal probability 1/4:

. .

w =

. .

,

A(1 + 2口),

A(1 + 口),

A(1 − 口),

A(1 − 2口),

where A is the public estimate of the security’s value and 口 > 0. The fractions of informed and uninformed investors are u and 1 − u, respectively.  Informed investors observe the security’s value w .

(a)  Compute the zero-expected-profit ask quote a and bid quote b posted by the dealers

under the assumption that the informed buy if they observe one of the two positive signals (A(1+2口) or A(1+口)), and sell if they observe one of the two negative signals (A(1 − 2口) or A(1 − 口)). What is the relative spread s = s/A = (a − b)/A?

(b)  Consider the zero-profit ask and bid quotes computed in your answer to point a:

are they equilibrium quotes for any value of u?   [Hint:  at those quotes, will the informed want to buy upon observing the weaker positive signal A(1 + 口) and sell upon observing the weaker negative signal A(1 − 口)?]

(c) For some values of u, is there an equilibrium where the informed buy only upon observing the stronger positive signal A(1+2口) and sell upon observing the stronger negative signal A(1 − 2口)?  If so, compute the relative spread in this equilibrium. Are there values of u for which there is no zero-profit (pure-strategy) equilibrium?

(d) Plot the relative spread s as a function of the fraction of informed traders (u).  Is it monotonically increasing in u, in the regions where a (pure-strategy) equilibrium exists?