TRUE/FALSE (10 points each)

Please circle the correct answer. There will not be partial credits for these questions.

1. Assume returns rt  follow a certain GARCH(1, 1) process.  Then, the conditional variance ht is not correlated with ht-2       T  F

2.  The p-value of a test is the probability of rejecting the null hypothesis if the null hypothesis is true   T  F

3.  The  following  Matlab  command  calculates  the  p-value  of a  test  statistic  (called  “test”) which is distributed as a Chi-Squared random variable with 30 degrees of freedom:  2(1- chi2cdf(test,30))     T  F

4. In the CCAPM the stochastic discount factor cannot be a constant        T  F

5. Let rt, xt, zt  be random variables. If E(rtoxt) = 0 for all t, then E(rtoxt, zt) = 0        T  F

MULTIPLE CHOICE (20 points each)

Each multiple choice question is worth 20 points. There will be no partial credits for these questions.

Question 1

Consider three independent random variables x1 , x2  and x3  with the same expected value µ and variances 1/8, 1 and 4, respectively. Consider, also, two estimators 1  and 2  defined as

1 = x3 + x2

and

2 = 2x1 - x2 .

Choose the best answer:

A) Both 1  and 2  are unbiased for µ and they are equally efficient

B) Both 1  and 2  are unbiased for µ but 1  is more efficient

C) Both 1  and 2  are biased for µ

D) Both 1  and 2  are unbiased for µ but 3 = x2  is preferable

Question 2

Consider a population with mean µ and variance σ 2  < ~. After collecting an IID sample of T ob- servations, you estimate the mean of the population with an estimator T  such that E(T ) = 0.5µ and V(T ) = σ  . Which statement is correct?2

A) The estimator T  is not consistent but 2 T  is

B) The estimator T  is consistent because its variance goes to zero

C) We cannot determine whether the estimator T  is consistent with this information

D) The estimator 2 T  is unbiased but inconsistent

Question 3

Consider the CCAPM model and the following equation for the price of an asset in equilibrium:

pt = Ct(mt+1, xt+1) + Et(xt+1),

where pt is the price of the asset at time t; xt+1 is the payoff of the asset at time t + 1; Rf  indicates the return on the risk-free asset; mt+1  is the stochastic discount factor; and Et  and Ct  denote the conditional expectation and the conditional covariance given time-t information, respectively.

Which of the following is true?

A) The asset sells at a discount and the covariance term in the equation above is negative

B) The asset sells at a discount and the covariance term in the equation above is negative if the asset gives a high payoff when consumption is low

C) The asset sells at a discount and the covariance term in the equation above is negative if the asset gives a high payoff when consumption is high

D) The asset sells at a dscount and the covariance term in the equation above is positive if the asset gives a high payoff when consumption is high

Question 4

We want to estimate the probability that a market index will go up in the next week.  As a first attempt, we collect a large sample of weekly data on the index r0 , r1 , r2 , ..., rT  and we record xt = 1 if rt - rt-1  > 0 and xt  = 0 otherwise.  Assume that it is reasonable to think of this sample as an IID sample.  Using our sample x1 , x2 , ...., xT , we estimate the probability that the index goes up using a sample proportion:

T

 =  ù xt .

t=1

We know that the variance of  is V() = p(1 - p)/T. A reasonable estimator for this variance is

() = (1 - )

Choose the best answer:

A) () is consistent and unbiased for V()

B) () is consistent but not unbiased for V()

C) () is not consistent (since it goes to zero) but is unbiased for V()

D) () is neither consistent (since it goes to zero) nor unbiased for V()

Question 5

Suppose you have a sample of T observations from a normally distributed random variable X ～ N (µ, σ2 ). You are interested in estimating the mean of the population µ but, instead of using the sample mean X =  ( Xt  as your estimator, you decide to use the sample median Xmed. After consulting a statistics book, you discover that

Xmed ～ N /µ, 1.5707 、 .

Choose the best asnwer:

A) The median Xmed  is not an unbiased estimator of the mean of the population

B) The median Xmed  is as efficient as the mean X because its variance also goes to zero

C) The median Xmed  can only be used to estimate the population median and should not be used to estimate the population mean

D) None of the above

LONGER PROBLEMS

Question 1 (80 points)

Consider the following linear regression model:

Rt(e),i = αi + βiRt(e),m + εt,i ,

where Rt(e),i  is the excess return on an asset i, Rt(e),m  is the excess return on the market and εt,i  is a standard shock with the following properties E[εt,i] = 0 and V[εt,i] = σε(2), for all assets i.

Notice that the model implies the CAPM if αi = 0 for all assets i. In fact:

E(R ,i) = αi + βiE(R ,m)

1.  (15 points.) What is the economic interpretation of αi?

2.  (20 points.)  The least-squares estimator of αi  is i  =  ( Rt(e),i  - i  ( Rt(e),m . Using the Weak Law of Large Numbers and Slutsky’s theorem, show that

lT (i - αi)  N ╱0, ╱ 1 + σ(µ)七a七a

\ σε(2)\ ,

(1)

where µRa(七)  is the expected excess return on the market and σR(2)a(七)  is the variance of the excess market return, using the fact that

lT (i - βi)  N ╱0, σ2σε2R七a  \ .

3.  (15 points.)   Use the asymptotic distribution in the previous point to test the hypothesis αi = 0. (Be as precise as possible.)

4.  (10 points.) Consider, now, N assets, rather than one. Write the vector of N intercepts as

╱ α(α)2(1) 、

．.αN(..)． .

Also, denote by Σε  the variance/covariance matrix of the vector ε, where

╱ εt,1 、

εt,N

We have

lT ( - α)  N ╱0, ╱ 1 + σ(µ)七a七a  \ Σε\ .

Discuss why Eq.  (2) follows logically from Eq.  (1).

(2)

5.  (20 points.) Use Eq.  (2) to construct a one-sided test of the hypothesis that the vector α is equal to zero.

Question 2 (80 points)

In order to understand whether positive shocks to returns (induced by favorable aggregate news) have a different impact on variance than negative shocks to returns (induced by negative aggregate news), we run an asymmetric GARCH(1,1) model. We also allow for GARCH-in-mean effects:

rt     =   λht + εt ,

εt     =   ìhtut  with ut ～ N (0, 1),

ht     =   α0 + α1 ht-1 + α2 εt(2)-1 + α3 εt(2)-1 1(ε成 − /<0} .

The conditional mean output:

ht

Estimate

3.3827

Std.  error

1.1670

t-ratio

2.898

p-value

0.0037

drt = α0 dt + γ0rt(γ)/ dBt

Derive a discretized model for this new setting and moment conditions to estimate the 3 parameters α0 , γ0 , γ1 .