Question 1 (12 marks) Use a SEPARATE book clearly marked Question 1

(i)        For the polynomial  6x5 3x2 7x 5  state:

(a)       the degree.

(b)       the coefficient of x2 .

(ii)       Evaluate  83 .

(iii)      For the universal set U and sets A and B it is given that

n(U) 25, n(A) 12, n(B) 10,  and n((A B)) 5 .

(a)       Find n(A) .

(b)       Find n(A B) .

(iv)      Factorise  4x2 4x 3 .

(v)       Use the remainder theorem to find the remainder when  2x4 x3 4x 7  is divided by x 2  .

(vi)      Find the solution set for x when  1 2x 1 3 .

(vii)     Find the natural domain  (greatest possible domain)  of y .

(viii)    (a)       Simplify .

(b)       Hence, or otherwise, sketch the graph of y x2 4 .

Question 2 (12 marks) Use a SEPARATE book clearly marked Question 2

(i)        Find the  60th   term  ofthe sequence  3, 10, 17, 24,       .

(ii)       Find the derivative of x x x .

(iii)      Find the gradient ofthe normal to the curve y at the point where x 1 .

(iv)      Solve  9x 10 3x 9 0 .

(v)

Diagram not

to scale

In the diagram above y f (x) is drawn.  The points A( 1,5)  and B(2,1)  lie on the

curve.

(a)       State the value of f (0) .

(b)       If f (3) 0  use the graph to solve f (x) 0 .

(c)       Sketch y f (x) .

(d)       Find the equation of the line passing through the point A and parallel to the x-axis.

(vi)      Determine whether the function f x 2x2 5x is odd, even or neither. (vii)     Solve 9 x 5 .

Question 3 (12 marks) Use a SEPARATE book clearly marked Question 3

(i)        (a)       Find the domain ofthe function f (x) ln (x 1) . (b)       Hence sketch the function f (x) ln (x 1) .

(c)       Find the equation of f 1(x)  the inverse function ofthe function f (x) .

(ii)       Find the second derivative of f (x) 3 x2 5 .

(iii)      For the function f x x3 2 ,  find the average rate of change as x changes from  3

to  7 .

2

x3         3 x .

(v)       For  2log a m log a n 5 ,  find a relationship between a, m and n which does not involve logarithms.

(vi)      Find the values of x for which the curve y x3 6x2 11x 9  is concave up.

Question 4 (12 marks) Use a SEPARATE book clearly marked Question 4

(i)        Find the limiting sum ofthe geometric series  64 24 9 .

(ii)       Show that f (x) x3 is an odd function.

(iii)      Consider the function f (x) 2x 3 9x2 52 .

(a)       Find f (2) .

(b)       Find the stationary points and determine their nature.

(c)       Find the values of x for which the function f (x)  is increasing.

(d)       Find any points of inflection.                  (e)       Sketch the graph ofthe function f (x) .

(f)        Find the maximum and minimum values ofthe function f (x)  on the interval

1 x 2 .

(iv)      (a)       Find the amount to which  $7 000  grows when invested at an annual rate of

8% ,  compounded quarterly, for  6 years.

(b)        Find the effective rate which gives the same annual return as an annual rate of

8% , compounded quarterly.

Question 5 (12 marks) Use a SEPARATE book clearly marked Question 5

(i)        A function is defined by:

f x x1

x

for x 1

for x 1

(a)       Evaluate f (2) f (2) .

(b)       Sketch y f (x) .

(ii)       A walnut grower estimates that if he plants  20  walnut trees in a field then each tree

will yield  60 kg of walnuts giving a total yield of  1200 kg but for each additional tree planted in the field the yield per tree will drop by  2 kg.

(a)       Write an expression for the total yield ofwalnuts if  (20 x)  walnut trees are

planted in the field.

(b)        Hence find the number of walnut trees planted in the field if the total yield is

to be maximized.

(iii)      (a)       Express  ln x in the form a ln x where a is a constant.

(b)       Hence, using the substitution m ln x or otherwise, solve ln x .

(iv)      (a)       On the same diagram, sketch the graphs of y x 1 and y

clearly marking the x and y intercepts of each graph.

(b)       Hence, or otherwise, solve x 1 .

(c)       Find the positive value of a such that y x 1 and y meet in one point only.

Question 6 (12 marks) Use a SEPARATE book clearly marked Question 6

(i)     A manufacturing company which makes the breakfast cereals Wheaties finds that if they set the price of a box ofWheaties at  $C then they will sell  100x boxes per week         where C 5 x .  Each box ofWheaties costs  $1 37  to produce.

(a)       Write an expression for the weekly profit P(x)  dollars.

(b)       How should the cereal be priced in order to maximize weekly profit?

In parts  (ii) and  (iii) below, the following formulas may be of assistance:

1 in 1

i

1 1 i n

i