Question 1     (12 marks)                 Use a SEPARATE book clearly marked Question 1

(i)        Find the remainder when the polynomial  2x3 − 3x2 + 7  is divided by  (x − 2) .

(ii)       Solve  2w = −7 ( 1000 − w).

(iii)      Simplify  2n   × 8n+1 .

(iv)      Evaluate  32 log3 5 .

(v)       If  A = {x : x ≥ 2}  and  B = {x : x ≥ −1}  find the set  A′ ∩ B .

(vi)      Write  x2 + 6x − 1  in completed square form.

(vii)     Write down the value of x  if  log5 x = −2 .

(viii)    Solve  x + 1 = 7 .

(ix)      Find the gradient ofthe tangent to the curve  y = x3    at the point where  x = − 1 .

(x)       Sketch the function  y = e −2x  − 1  showing its essential features.

(xi)      For the straight line function  f (x) = 3x − 1 ,  write down the equation ofthe inverse

function  f − 1(x) .

Question 2     (12 marks)                 Use a SEPARATE book clearly marked Question 2

(i)     Find the derivative of each of the following:

(a)

(b)

3x2  −    .

x

x − 1

x + 2 .

(ii)       Find the values of x  for which the curve  y = x3  − 6x2  + 5x − 8  is concave up.

(iii)      Find   lim

(iv)       Find the value of   24 − k  .

=1

(v)       Find the value ofthe constant k if  x + 1  is a factor of  P(x) = x4  + kx3 + 2 .

(vi)      A mountain climber starts from a base camp at an altitude of  1000 metres

with the intention of climbing to a summit at an altitude of 6500 metres.           After one day’s climbing he reaches an altitude of 2800 metres.  Subsequently

on each day he climbs   2   ofthe distance climbed on the previous day.  Show

that the mountain climber cannot possibly reach the summit.

Question 4     (12 marks)                 Use a SEPARATE book clearly marked Question 4

(i)        The graph of a function  y = f (x)  is shown below. 

(a)       Find the domain and range of  y = f (x) .

(b)       Find  the equation of the piecemeal function  f (x) .

(c)       On separate diagrams sketch: (α)   y = −f (x − 2) .

(β)  the inverse of the function  y = f (x) .

(ii)       The skirt of a dancer’s costume is to be decorated with  25  rows of sequins.  The top

row will contain  16  sequins, the next row  18  sequins, the third row 20  sequins and so on.  Each row after the top row contains two more sequins than the previous row.   Find the number of sequins used on the costume.

(iii)      (a)        Sketch the graph ofthe hyperbola  y =     1     − 1  showing the

asymptotes and the intercepts on the coordinate axes.

(b)       Show that  y =    1     − 1  can be expressed as  y = 4 − 2x .

(c)       Hence:

(α)      solve the inequation   4 − 2x <0 .

(β)      find the number of solutions to the equation   4 − 2x = ln x .

Question 5     (12 marks)                 Use a SEPARATE book clearly marked Question 5

(i)        When a number is added to each of  2 , 6 , 13 ,    a geometric progression is formed. Find this number.

(ii)       A man plans to erect a fence around a  972  square metre rectangular storage area next

to a building, using the building as one side of the enclosed area. The fencing parallel to the building will cost  $9  per metre installed, while fencing for the other two sides will cost  $6  per metre installed.

(a)        Find the length of each type of fence so that the total cost of the fence will be a

minimum.

(b)       Find the minimum cost.

(iii)

 Diagram not to scale 

The graph shown above represents a polynomial P(x)  of degree four. When the polynomial  P(x)  is divided by  (x − 1) , the remainder is equal to 6.

(a)       Find an equation for P(x).

(b)       Find the remainder when P(x)  is divided by  (x + 1) .

(c)       How many roots does the equation  P(x) = 2  have?

Question 6     (12 marks)                 Use a SEPARATE book clearly marked Question 6

(i)        The graph of  y = f (x)  is drawn below. Draw the graph of  y = f ′(x).

f(x)

1

Stationary points occur at  x = 1 and  x = 3 .