Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH5975 Introduction to Stochastic Analysis

Assignment 1, 2022

Instructions: This is a group assignment (up to 3 person per group) which is worth 5% of the total assessment. The assignment must be submitted online to turnitin on moodle before 2pm on Thursday Week 4. There will be two turnitin submission boxes, one for the group and one for each individual. Everyone in the group should submit a copy of the assignment to the individual submission box and only one member of the group should upload their assignment to the group submission box.  Only the copy submitted to the group submission box will be marked.

Exercise  1 .  Let Ω = [0, 1] and F be the σ-algebra generated by the dyadic intervals  ,  ,    k = 0, 1 .

(a) List all events in F .

(b) Give an example of a function X : Ω → R such that X takes only finite number of values and is F-measurable.

(c) Give an example of a function Z : Ω → R such that Z takes only finite number of values and is not F-measurable.

(d) Let P be the Lebesgue measure on  [0, 1], that is P([a,b]) = b − a for a  < b, and let Y(ω) = ω2  for ω ∈ [0, 1]. Compute E(Y|X) where X is the example you have given in (b).

Exercise 2 .  Let (Mn , Fn) be a martingale such that E[M ] < ∞. For k ≤ n show that (a) E (MkMn|Fk) = M ,

(b) E (Mn − Mk)2  Fk = E M − M Fk (c) E (MkMn) = E(M ), and E (Mk(Mn − Mk)) = 0

(d) E((Mn − Mk)2) = E(M ) − E(M ).

Exercise 3 .  Given a filtration F = (Ft)t≥0, let τ1  and τ2 be two stopping times. (a) Show that min(τ1,τ2) and max(τ1,τ2) are stopping times with respect to F.

(b) Assume that P(τ1 < τ2) = 1. Show that Fτ1  ⊂ Fτ2 , where for any stopping time τ , Fτ  = {A ∈ F∞  : {τ ≤ t} ∩ A ∈ Ft}

Exercise 4 . Let Y ∈ L2  and suppose that E(Y2 |σ(X)) = X2  and E(Y|σ(X)) = X, show that Y = X a.s.

Exercise 5 .  Let Ω = {a,b,c,d} and define a probability measure on 2Ω by P(a) = P(c) = 1/6 and P(b) = P(d) = 1/3. Define random variables X and Y by

X(a) = X(b) = 1,    X(c) = X(d) = − 1

Y(a) = Y(d) = − 1,    Y (b) = Y(c) = 1.

(a) List all sets in σ(Y).

(b) Let Z = E(X|Y), determine Z(a) Z(b), Z(c) and Z(d).

(c) Verify that E(X|Y) is a function of Y .

(d) Let h(x,y) be a real-valued function defined for all (x,y) ∈ R2 and define g(y) = E[h(X,y)]. Let U = E(h(X,Y)|Y) and compute U(a) and g(Y(a)).