Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 18400 - PRoBLEM SET 8

Problem 1. Compute the following line integrals:

a.    尸  . d-x, where  =  ┌x xy(_)y┐ and C is the arc of the circle x2 + y2  = 1 between (1, 0) to (_1, 0), traversed in the counterclockwise direction.

b.        . d-x, where  = zˆı + yˆ _ x  and H is the helix parameterized by H

(x, y, z) = (t, sin(t), cos(t)) ,  0 5 t 5 π

Problem 2. Let  be the vector field

 = (y _ x, 2x(x3 _ y2 )),

and consider the following curves:

C1  :  A straight line from (0, 0) to (1, 1).

C2  :  The curve parameterized by (x, y) = (t2 , t3 ), where 0 5 t 5 1.

a.  Draw the curves C1  and C2 .

b.  Show that the line integrals         . d-x and        . d-x are equal, by evaluating both of them. 尸1                                             尸2

c. Is it legitimate to conclude from part b that  is conservative? Why or why not?

d.  Either find a potential function for , or show that it does not have a potential function.

Problem 3. Which of the following vector fields are conservative? For each vector field which you believe is conservative, confirm it by finding an explicit potential function.  For each vector field which you believe is not conservative, confirm it by finding a specific closed curve C such that

 . d-x  0.

尸

a.  1  = 2yˆı _ 3xˆ

b.  2  = y sin 2xˆı + sin2 xˆ

c.  3  = (3x2 yz _ 3y)ˆı + (x3 z _ 3x + z)ˆ + (x3 y + 2z + y)

d.  4  = yˆı _ xˆ + z 

Hint:  If the vector field is not conservative,  almost any curve will work - make your life as easy as possible.

Problem 4. Consider the 2D vector field

 = eg cos(y)ˆı _ eg sin(y)ˆ

and let E be the ellipse  +  = 1.

a.  Set up the line integral       . ds, where  is a unit tangent vector to the ellipse, pointing in the

尸

clockwise direction. Do not attempt to evaluate this integral.

b.  Does  have a potential function? If so, find one.

c. What is the value of the integral you set up in part a?

Problem 5. Set up each of the following line integrals explicitly, by parameterizing the curve of integration. You will see that something terrible happens, and you can’t evaluate the integral directly.  Once you have understood the difficulty, determine the value of the integral by applying Green’s theorem.

a.        . d-x, where  = (y2 + sin x)ˆı + (x2 + cos y)ˆ, and P is the boundary of the region enclosed by P

the parabolas y = 4x2  and x = 4y2 , with the clockwise orientation.

b.        . d-x, where  = ╱′x3 + x2 + x, xy2、, and C is the circle x2 +y2  = 9, oriented counter clockwise. 尸

Problem 6. Consider the following vector fields:

 = (4x3 + 3yz)ˆı + 3xzˆ + (3xy + 4z3 ) 

 = x3 ˆı + zˆ + e32 

a.  Show that one of these vector fields is conservative, and the other is not. Hint:  Both vector fields are nonsingular.

b.  Evaluate the line integrals

 . d-x and         . d-x,

尸                               尸

where C is the curve obtained by intersecting the cylinder x2 + y2  = 9 with the plane x + y + z = 1, oriented in the direction which is clockwise when viewed from the positive z axis.

Hint:  Apply Stokes’ theorem.