1.  (Wright-Fisher model) Consider a model of a population with constant size N  and types E  =  (1, 2}.   Let Xn  be the number of type 1 individuals at time n.  The evolution is described as follows:  the distribution of Xn＋0  is

Binomial(N, ) conditioned on the event Xn  = k , k e (0, 1, . . . , N }.            l)( Write down the transition matrix of the Markov chain Xo , X0 , ...           l))(  Is this Markov chain irreducible? Does it have stationary distributions?

2.   (A variation of Wright-Fisher model) Similar to Problem  1, consider a model of a population with constant size N  and types E  =  (1, 2}.   Let Xn   be the number of type  1  individuals at time n.   The evolution is now changed to: there is a parameter u e (0, 1), the distribution of Xn＋0  is Binomial iN, u + (1 _ u) i1 _ 、、conditioned on the event Xn  = k , k e (0, 1, . . . , N }. Observe that 0, N are not absorbing states for this chain.

l)(  Show that the Markov chain (Xn ) converges to its unique stationary dis- tribution π.  (Hint:  Apply the convergence theorem, you do not need to

compute the stationary distribution.)

l))(  Compute limn → ～ 匝x [Xn] for x e (0, 1, ..., N }.

3. Let (Xn ) be the Markov chain on the state space (0, 1, 2, ...} with transi- tion probability

P (0, 0) = 1/2,  P (0, 1) = 1/2,

P (i, i + 1) =  /1 _ 、 ,  P (i, i _ 1) =  /1 + 、 , i e (1, 2...}.

l)(  Determine whether this Markov chain has stationary distribution.  If your answer is yes, give an expression for the stationary distribution; if your answer is no, give reasons why this Markov chain doesn’t admit any sta- tionary distribution.