Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

4AMF Advanced Mathematical Finance

Formative Problem Sheet

2022

Students must retain a minimum of 4 decimal places of accuracy for ques- tions requiring numerical answers

1. Consider the following hedging opportunities for the portfolio Π:

(a) Let Π = V1(S1,S2,t)+∆1V2(S2,S3,t)+∆2V3(S1,S3,t)+∆3S1 where V1 , V2  and V3  are multi-asset options and t is time.   Using Ito’s lemma, calculate ∆1, ∆2  and ∆3  so that Π is deterministic.

(b) Let Π = V1(S,t,σ)+∆1S+∆2V2(S,t,σ) where V1 and V2 are options dependent on some underlying S, t is time, and σ = σ(t) is a known function of time.  Calculate ∆1  and ∆2  so that Π is deterministic and that the Vega of the portfolio equals zero.

(c) How would you determine the numerical values of the ∆’s in the above?

2. A portfolio has delta ∆ = −2 and gamma Γ = 5. We wish to Platinum hedge this portfolio by adding λ of a hedging contract with delta ∆∗ = 3 and gamma Γ∗ = 1. The bid-offer spread is C = 0.2. Assuming that the change in the value of the portfolio with δS may be approximated using a Taylor series expansion (retaining terms up to and including O((δS)2) only), where δS is the change in the value of the underlying, determine the appropriate value of λ in order to optimize the best possible worst case scenario.

3. The crash model for the change in value of an underlying share S between times t and t + δt is described by one of three possible states. Namely: diffusive rise where S goes to uS over the time step (state A); or diffusive fall where S goes to vS over the time step (state B); or crash where S goes to (1 - k) S over the time step (state C). Here the portfolio contains our option with value V1  and −∆ of the underlying assest S.   After time δt, the asset has moved to one of the three states (A,B or C), and at the same time the option has changed in value to V1+ , V1−  or V0 respectively. Consider V1+  = 2.2, V1−  = 1.6, V0  = 0.5, u = 1.2, v = 0.9, k = 0.8, S = 4, r = 0.1 and δt = 0.01. (a) Does this scenario correspond to Black-Scholes hedging  (i.e.   delta hedging) or crash hedging?   (b) Calculate the values of ∆ and V1 .