This assignment is due on Sunday, February 27th before midnight. You can submit this work individually or in teams of 2 or 3. You must submit only one copy per team, including a PDF file containing your results and an R file containing the code used. These two documents are necessary for your work to be considered submitted.

Exercise 1 (Asset returns) Download the adjusted closing prices for the Microsoft stock (MSFT) and the market index S&P500 (ˆGSPC) between January 1, 1990, and December 31, 2014, using the command getSymbols() of the quantmod package.

(a)  Graph the daily returns for each of the series. Make sure to adjust the axes to facilitate the comparison.

What do you notice about the volatility of the two series?

(b)  Perform the following hypothesis tests for the daily and monthly returns of each series. Use a significance

level of 5%.

i.  A test of the hypothesis that the returns are i.i.d. Gaussian using the Jarque-Bera statistic. Calculate the critical values using the quantile function of the asymptotic distribution of the test statistic under the null hypothesis.

ii.  A test of the hypothesis that the returns are i.i.d. with finite variance using the Ljung-Box statistic. Calculate the test statistic for m = 12 lags from the autocorrelation function obtained with the acf() command.

(c)  Are your results consistent with the empirical stylized facts characterizing the financial data on asset prices? Briefly comment.

Exercise 2 (Time series) Consider the following 3rd order autoregressive process with gaussian innova- tions:

rt  = 0.02 + 1.03rt − 1  - 0.42rt −2 + 0.32rt −3 + at ,        where        at  ~ N(0, 0.42 ).

(a)  Calculate the roots of the characteristic polynomial. What do these roots tell you about the autocorre-

lation function described by the process?

(b)  Calculate the unconditional mean of the process.

(c)  Simulate a series of N = 1000 observations. Note: The arima.sim() command only allows to simulate ARMA processes with zero mean.  To specify the distribution of the innovations, use the argument rand.gen  =  function(n)  rnorm(n, mean=...,  sd=...) in the previous command.

(d)  Represent on the same graph the autocorrelation function ρl  of the population (described by the model) and the autocorrelation function ρˆl  of the sample for l = 1, . . . , 50.  Add a legend to identify both functions.

(e)  Using the simulated sample, estimate the parameters of an AR(3) model and verify that the model is

adequate. Present the point estimates and their standard deviations. Are all the parameters correctly estimated? Would an AR(2) model have captured the autocorrelation of the sample?