Include your codes in your submission.

1.  (Open ended question) On Feb 3, 2022, the stock price of Meta Platforms Inc (symbol FB) dropped by more than 25%.

(a)  Given reason(s) to explain the price drop.  (no less than 150 words)

(b)  Discuss the event in relation to the efficient market hypothesis.  Does it support or

oppose the EMH? (no less than 200 words)

In both parts, cite all references (news articles, research papers, price charts, etc) that you use.

2.   (a)  Consider a stationary AR(1) process

rt = φrt-1 + εt ,

where  |φ| <  1 and  (εt) is an i.i.d. white noise process.   Show that the theoretical variace ratio is equal to

φ          2 φ(1 - φq )

VR(q) = 1 + 2 1 - φ - q  (1 - φ)2  ,    q = 1, 2, . . . .

(b) In Theorem 5.5 of the lecture notes we cited a result about the variance ratio: suppose rt are i.i.d. (and satisfy suitable technical conditions). Then, as T → o, IT (R(q) - 1) converges in distribution to N (0, 2(q - 1)). [In the earlier version, the p there should be a q, where q is the lag.] In this problem, we consider a simulation study to observe this convergence.

Consider two cases:  (i) rt  i. .  N (0, 1) and (ii) rt  i. .  Laplace(0, 1).  Here we recall that the Laplace distribution Laplace(µ, b) has density

f (x) =  exp /- 、 ,    x e R.

Consider q = 1, 2, 3, 4, 5 and T = 10, 100, 1000, 10000.  For each case and each q-T pair, simulate N = 5000 batches of data  points. The N batches provide an empirical distribution for the distribution of IT (R(q) - 1).   Plot a density estimate and compare with that of the asymptotic distribution. Your final output should contain 20 = 5 x 4 graphs (arrange them in a matrix of graphs). Comment on the results.

3.  (Quadratic programming)

(a)  Prove Proposition 6.10 of the lecture notes (shape of the unconstrained efficient fron-

tier).

(b) A quadratic programming problem is an optimization problem of the form

min 1 bT Db - dT b    subject to    ATb 2 b0 .

beRn  2

In R, this can be implemented numerically using the package quadprog.

Consider a collection of risky assets (with given mean vector µ and covariance matrix Σ).  Using the quadprog package, write a single function that plots that produces the efficient frontier under the constraint that no short selling is allowed (i.e., w 2 0 where w is the vector of portfolio weights. Your function should be of the form

plotEF  <-  function(mu,  Sigma)  {

#  ...

#  implementation  (it  can  call  other  functions)

#  ...

#  at  some  point  you  need  to  plot  the  frontier

#  e.g.  plot(...)

}

Note that your function can call other auxiliary functions. The main point is that you must wrap the call to plot() (or similar functions such as ggplot()) in plotEF(), and cannot do so in the main script.

(c)  Plot the frontier in (b) for the following µ and Σ:

set.seed(15)    #  for  reproducibility

n_assets  <-  10    #  number  of  assets

mu  <-  rnorm(n  =  n_assets, mean  =  0.1,  sd  =  0.1)

A  <- matrix(rnorm(n_assets*n_assets, mean  =  0,  sd  =  0.2),  nrow  =  n_assets) Sigma  <-  diag(rep(0.1,  n_assets))  +  (5/n_assets)*(A  %*%  t(A))

4. Consider the following stocks (in the Dow Jone index):

symbol_seq  <-  c("MMM",  "AXP",  "AMGN",  "AAPL",  "BA",

"CAT",  "CVX",  "CSCO",  "KO",  "DIS",

"GS",  "HD",  "HON",  "IBM",

"INTC",  "JNJ",  "JPM",  "MCD",  "MRK",

"MSFT",  "NKE",  "PG",  "CRM",  "TRV",

"UNH",  "VZ",  "V",  "WBA",  "WMT")

Consider daily (arithmetic) return of these stocks from 2017-01-01 to 2022-1-31.  We use the data from 2017-01-01 to 2019-12-31 for fitting, and the data from 2020-01-01-2022- 01-31 for testing.  For the purposes of this problem, we ignore the time dependency of the returns.  In this problem, we are interested in finding the global minimum variance portfolio.

(a)  Randomly assign the fitting data into two parts.  The first part (70%) will be used

as training data, and the rest (30%) will be use for validation.  When missing data exists, use the maximal subset of dates such that the return exists for all stocks.