Q. 1 (20 pts) This question is to practice R to generate fake data simulation from the re- gression model. Use the “vote.txt” data in Assignment 1.

When you generate a random number, use R code, set.seed(your student number) before the R codes of generating a random number, so that we can replicate the result.

We start by assuming true regression parameters in the model.   Thus, we assume that Yi  = 46.3 + 4Xi + ∈i , with ∈i  ~ N(0, 3.92 ). We use the predictors X (growth) that we already have from ”vote.txt”.

● Step 1: Simulation of the fake data

Simulate a vector Y of fake data and put this in a data frame with the same X (growth).

● Step 2:  Fitting the model and keeping the estimated regression coeffi- cients.

● Step 3: Repeating Step 1 and Step 2, 10,000 times.

(a)  (5 pts) Do Step 1 and Step 2.  Obtain the least square estimates of β0 and β1  with the fake data.

Also, compute estimated E(Y |X0  = 0.1) and obtain 95% confidence in- terval for E(Y |X0  = 0.1) by hands and compare it by R built-in function.

(b)  (10 pts) Do Step 3.  Make a histogram of 10,000 βˆ0  and 10,000 βˆ1 .  Su- perimpose (overlay) its theoretical distribution on each histogram. Cal- culate the mean and standard deviation of 10,000 estimates each.  Are the results consistent with theoretical values?

(c)  (5 pts) Do Step 3. Generate 10,000, 95% confidence interval for E(Y |X0  = 0.1).  What proportion of the 10,000 confidence intervals for E(Y |X = 0.1) includes E(Y |X = 0.1)?  Is this result consistent with theoretical expressions?

Q. 2 (15 pts) This question is to practice R to build a R function.

Use a following simple dataset, build a box cox transformation function in R (follow the steps described in the lecture note) and compare the result with the built-in R function.

x  <-  c(0:9)

y  <-  c(98,  135,  162,  178,  221,  232,  283,  300,  374,  395)

Q. 3 (30 pts)  (5 pts each) The dataset  “kidiq.csv” is posted at Quercus.  It contains chil- dren’s test scores (Y = kid.score) and mother’s IQ scores (X =  mom.iq). The data is from a survey of adult American women and their children (a subsample from the National Longitudinal Survey of Youth). We fit a regres- sion model predicting cognitive scores of preschoolers given their mothers’ IQ scores.

(a) Fit a Simple Linear Regression relating test scores (Y) to mother’s IQ scores  (X) using R. Construct 95 % confidence interval for the mean test scores of all kids with their mother’s IQ score = 110.  Compute it by hands (use R) and compare the result with the built-in R function, predict().

(b)  Construct a 99% prediction interval for a new kid’s test score when his or her mother’s IQ score = 110. Compute it by hands (use R) and compare the result with the built-in R function.

(c) Plot the residuals versus fitted values. Comment on the plot.

(d)  Obtain a normal probability plot of residuals and test the hypothesis that the errors are normally distributed with the Shapiro-Wilk test. Comment on the graph and test result with α = 0.05.

(e) We would like to conduct the Breusch-Pagan test to determine whether or not the error variance varies with the level of X. Install the package, ”lmtest”, and use the following R codes:

>  library(lmtest)

> bptest(lm_object)

What is your test result with α = 0.05?

(f) If there is evidence of non-normality or non-constant variance of errors, obtain a Box-Cox transformation (use the built-in function), and repeat the previous parts (d) and (e).

Q. 4 (20 pts)  (5 pts each) A simple linear regression was fit, relating the modulus of a tire (Y) to the amount of weeks  (X) heated at  125 Celsius, with results given below:

Xi (Weeks):      0      1      2      4      6      15

Yi (Modulus):   2.3   4.2   5.2   5.9   6.3   7.2

Use the simple linear regression in matrix form.

(a)  Obtain the design matrix X and Y

(b)  Obtain the vector of estimated regression coefficients, , and the vector入

入                                       入.

(c)  Compute the estimated variance-covariance matrix of  , V βˆ). 入          入

(d) Find the hat matrix H.  What does      hii  equal?   Here, hij   is the element in H in the ith row and jth column.

(e) Find the estimated variance-covariance matrix of the residual vector,

ar(e).

入