Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Experiment 3: Measurements Magnetic Fields

Introduction

In this laboratory you will use fundamental electromagnetic Equations and principles to measure the magnetic fields oftwo magnets.

1    Physics

1.1  Faraday’s Law and Magnetic Flux

 

V     B  dA                                                     (1)

where Vis the integral  E  dl around a closed contour, or in a practical sense, the voltage around a circuit,

while   is the total magnetic flux passing through the surface contained by the circuit (defined as the integral of the magnetic field over the area of the circuit, A). The minus sign in Equation 1 comes from the fact that the induced current opposes the change in magnetic flux. This is known as Lenz’s Law. Since we are going to be concerned in this lab with the magnitudes of these values we will not be concerned with the sign in Equation 1.

1.2  Lorentz Force

The general Lorentz force on a point charge which is in an electromagnetic field is:

F  q(E  v  B)                                                        (2)

Since we are only going to observe a force in a purely magnetic field we can immediately set E = 0. In addition, if we are looking at a steady flow of charged particles it will be better for our purposes to look at the chunk of force produced by a small current element I dl due to a magnetic field B. That differential force is:

dF  I dl  B                                                           (3)

where the appropriate units are: V (Volts),  (Tesla∙m2=Weber), F (Newtons), I (Amperes), B (Tesla), and length (m). I dl has replaced qv in this Equation. Take note that these two quantities have the same units

and that they both express a small amount of moving charge.

2    Mathematic Analysis

2.1  Flip Coil Method

Having written down the essential mathematical relationships between magnetic field, potential, and current, we must now ask how we can use these to measure a constant magnetic field. Consider Faraday's

law first. It relates a circuit voltage to the time derivative of magnetic flux though it; yet our problem is the measurement of a steady field which has no time variation at all. Furthermore, even if the field were varying, we are interested in its magnitude, not its rate of increase.

Let us arrive at a technique by considering the above two objections in reverse order. How do we find the magnitude ofB (or  ) from its derivative? One way is to integrate the Equation. However, how does one integrate a voltage from an electrical circuit? We will use an RC integrator. Imagine the electrical network shown in Figure 1.

 

Figure 1  An RC integrator.

We will impress a time varying voltage Vi t  at the input terminals at the left, and look at the resulting output voltage Vt  at the right.

Recall first that the voltage across a capacitor is proportional to the total charge Q placed on it, where the constant of proportionality is the capacitance, C. Thus,

Q

V 

C

Since current, I, is a rate of charge transfer, it follows that:

1

Q(t1)   Idt

0

The preceding Equation assumes that Q = 0 at t = 0.  Then,

1

 

0

(4)

(5)

(6)

since our output voltage is just the voltage across the capacitor. Now, Ohm's law tells us that:

Vi    Vo

R

and so by direct substitution into Equation 6,

1

 

0

t1                                                    t1

(7)

(8)

If the product RC, which itself has the dimensions of a time, is much larger than the integration time t1,

1

the second right-hand term becomes small compared to V0   itself. (i.e., we approximate  V0dt by Vot1 , and

0

so V0t1RC  V0 ).  Then,

 

1

0

our circuit acts an integrator.

We can now connect such an integrator to a loop of wire located in a time-varying magnetic field increasing from B = 0, and obtain an output V0 , the magnitude of which is related to the flux through the loop by

Vo (t  tdt  

(10)

as long as RC  t . Ifthe loop has an area A, and the field strength B is uniform over this area, then  AB, and

Vo (t  A  B(t)                                                        (11)

We can measure a magnetic field that has increased from zero in some suitable short time t. But how about measuring a steady field? You may already have anticipated the answer to this. We will simply take our loop, which initially rests in a place where there is no field, and thrust it suddenly into the magnetic field region (or vice versa). By "suddenly", we mean in a time much shorter than the discharge time constant RC. The loop itself then sees a sudden rising field, and develops an appropriate voltage at its terminals. In fact, in most cases easier to have the coil at rest within the field, and then suddenly pull it

out. The total change in B, which is the initial B itself, will appear as a change in  V0   (  V0 ) at the integrator output. Figure 2 illustrates our scheme, which is called the flip-coil technique.

 

Figure 2  Illustration of the setup for moving a flip-coil out of a magnetic field, while integrating the

induced currents with an RC circuit.

Sometimes the value  of  V0    we  obtain  (while  still  satisfying the requirement that  RC  t1 )  is inconveniently low. This is remedied by wrapping several turns, say n of them, on the loop. The output

increases by a factor of n, since this is just equivalent to connecting n separate single-turn flip coils in series and thus adding their output voltages. In this case, then,

Vo     nA B

(12)

What happens, now, when the "flip" has occurred, and the integrator output voltage has jumped to Vo? We can answer this by taking another look at the circuit, as shown in Figure 3.

 

Figure 3 – The RC integrator discharging through the loop.

There is no more input voltage, since   = 0 in the coil.  The capacitor simply discharges through R and the coil, whose resistance is usually close to zero. You may recall that when a capacitor discharges through a resistance, its voltage decays as

V(t Voe t /RC                                                                                                   (13)

We conclude then that the whole history of the integrator output voltage must look something like that shown in Figure 4.

 

Figure 4  Time history of the output voltage for aflip coil moved rapidly out of a magneticfield region

and integrated by an RC circuitfollowed by discharge of the capacitor.

We can see now in what sense the flip of the coil must be sudden. Ifthe discharge rate of the capacitor is anywhere near the charging rate during the flip of the coil, the output voltage will never reach its proper level. We must then make t1 much less than the discharge time constant which is RC. This is restating our criterion for accurate integration by our integrator circuit.

There is one more Experimental "fact of life" to take into account in this system. It is that the device

probe you will use is 106 ohms, for example. The complete circuit for our measurement is then:

 

Figure 5  Theflux integrator, with the voltage probe input resistance shown as R1.

Since R and R1  are in parallel as far as the discharge of the capacitor is concerned, the decay time constant is R2C, where:

R R

R        1         

1

(14)

However, this does not change the integration time constant. The expression which you will use to find the magnetic field still contains RC and not R2C. Thus,

Vo     nA B                                                         (15)

where now the flip time t1 must be kept small compared to R2C.

Question 3.1

Assume that the flip time is approximately 50 ms. Given a capacitor value of 1.0 μF, what is an appropriate choice for the resistance R?

2.2  Current Balance Technique

Suppose we were to try a measurement of the field between the poles of a magnet where the field has a typical distribution as shown in Figure 6.

 

Figure 6  Current loop passing through the magneticfield created by a dipole magnet.

We draw "field lines" to represent B, as has become conventional, where the density of lines is a measure of the local field strength. It is characteristic of this field distribution that the magnitude ofB, i.e., the line density, becomes smaller in the "fringing" region, and falls gradually from its maximum value between the poles to zero far outside.

A wire carrying current I will then feel a total force:

Fx     IyBz (y)dy                                                       (16)

However, this doesn't tell the Experimenter what B itself is at any point. We can only determine the integral  Bzdy . IfB were perfectly constant over the width of the pole faces and dropped abruptly to zero at the edges, then things would be simpler, and the integral would be BzD , where D is the pole diameter. In this case, the field would then be given by

F

z        I D                                                             (17)

y

In this experiment, we will ignore the effects of the fringing field so that we may use equation 17. The wire you will use has n loops, which can be accounted for by multiplying the current by n. The total force acting on the wire by the magnetic field on the length L is then:

F = nILB                                                             (18)

Question 3.2

Solve for B in Equation 18. What is the propagated error for the magnetic field, B ?

3    The Experiment

You will determine the magnetic field of the magnet using the flip coil technique. Construct an integrator circuit (refer to Figure 5) for use with the flip coil. Note that according to Equation 15 the output voltage is proportional to 1/RC, so a small value ofRC is preferred. However, from the discussion leading up to Equation 14, the flip time must be kept small compared to R2C. Since R2C < RC, this latter condition may be quite difficult to obtain ifthe value ofRC is chosen too small.

The flip coil area is smaller than the area of the permanent magnet, therefore the area used in equation 15 is that of the coil. Measure the inner and outer coil diameter, then average them to get the diameter with uncertainty. Use this to calculate the coil area. The coil has n = 2000 turns.

Using capstone, take at least 10 measurements ofthe resulting values of V0   to determine a value for the magnetic field strength. You may use the standard deviation of the mean of your measurements as your uncertainty.

Question 3.3

If you have taken the following measurements of the peak voltage from the voltage probe, what are the average, standard deviation and the standard deviation ofthe mean?

Measurements:  0.10, 0.12, 0.11, 0.13, 0.14, 0.10, 0.09 and 0.08 mV.

Hints:

     The flip coil axis must be aligned with the magnetic field to avoid introducing a factor of  cos()  (where   is the misalignment angle) into Equation 15. To insure accurate coil alignment, simply rest the coil against one of the magnetfaces while “flipping” it.

 

Figure 7  Experimental setupfor theflip coil technique.

3.2  Current Balance Technique (measuring the force magnetic field exerts on current-carrying wire).

In this section you will put varying amounts of current through different numbers of coils and measure the force created due to the magnetic field surrounding the wire. Begin by locating the silver metal case which contains two parallel magnetic plates. Your experiment will measure the magnitude of the magnetic field between these two magnets.

Measure the length of the plates in the housing. This will be the effective length of the wire, since only this amount of wire will experience the magnetic field, or so you are assuming for this experiment.

Select one of the wire loops on the lab table and screw it into the force sensor. Adjust the height and position of the force sensor and loops so that the loops lie in between and parallel to the plates of the magnets. Connect the grey power supply output on your table to either end ofthe suspended loops.

Press `Record' to begin collecting data then gently push the `Tare' button on the force sensor to zero it. Turn on the power supply. Set the voltage limits to maximum and use the current limit to control the power supply. Note the sign of the force being measured. You want the current flowing such that the force is downward (negative force measurement), since an upward force is less stable.

Record data at 4 different current values, using three wire loops with different numbers of turns. In the analysis, you will plot F vs. nIL to find the magnetic field. All data should be on one plot.

Question 3.4

What does the slope of the F vs. nIL plot correspond to?

 

Figure 8  Experimental setupfor the current balance technique

 

Lab Report Guidelines

 

Setup [3]

Provide a brief discussion of the purpose of the experiment and how it was conducted. Also provide a diagram ofthe experimental setup.

Questions [4]

Provide answers to the questions in the lab manual:

     [1] Question 3.1

     [1] Question 3.2

     [1] Question 3.3

     [1] Question 3.4

Analysis [7]

Provide the following:

     [1] Compute the coil area and its uncertainty in the flip-coil experiment.

     [1] Determine the mean and the standard deviation of the mean for the 10 voltage data points in the flip-coil experiment.

     [2] Determine the magnet's magnetic field and its uncertainty in the flip-coil experiment.

     [2] Plot the graph ofF vs. nIL in the current-balance experiment. Determine the uncertainty in F (“y” in the best straight line fit to the data y = A + Bx), F value at nIL = 0 (“A” in y = A + Bx), the magnetic field B (“B” iny = A + Bx), and its uncertainty (“B”) using least- squares fitting (assume that the uncertainty of nIL is smaller than the uncertainty ofF and can be neglected).

     [1] Using the A and B fit values you found, plot the liney = A + Bx over the experimental data ofF vs. nIL in the current-balance experiment. 

Conclusions [3]

Highlight the themes of the lab and the physics the experiment verifies. You should discuss the errors you encounter in the lab. If your results are unexpected, you should identify possible explanations. Discuss the results of both methods of determining magnetic fields.

Hints on