Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 1080 Numerical Mathematics:  Linear Algebra

Homework 6

2022

And the following problems:

1. Let Q1 , Q2  e Rn ×n  be orthogonal. Prove that, for any x e Rn ,

|Q1 Q2x|2 = |x|2 .

 

2. Given

A = ╱ 0(1)   2(1) \ ,

find a nonsingular matrix X and a diagonal matrix D such that

1 AX = D.

 

3.  If Aqi  = λiqi , i = 1, . . . , n, and x =      aiqi, express Akx as a linear combination of

the eigenvectors qi .

4. Let A be a symmetric matrix and Aqi  = λiqi , i = 1, 2, where q1  and q2  are orthonormal eigenvectors. Let x = q1 + eq2 .

xT Ax

a) Express the Rayleigh quotient r(x) =              in terms of λ 1 , λ2 , and e.

b) Prove that lr(x) - λ 1 l < e2 lλ2 - λ 1 l.

c) If λ 1  > λ2 , prove that r(x) < λ 1 .

5. Let λ be an eigenvalue of A.

a) Show that 3λ3 + 2λ2  is an eigenvalue of 3A3 + 2A2 .

b) If A is similar to B, show that 3λ3 + 2λ2  is an eigenvalue of 3B3 + 2B2 .