1.  Suppose that f : R - R is C1  and has no critical points. Show that f has a C1  inverse f 2 1 : R - R.  (Note that the inverse function theorem says that f 2 1  exists locally, but I want you to show that f 2 1  exists globally.)

2.  The statement of #1 fails in higher dimension.   Consider the function f : R2   - R2  defined by f (x, y) =  (ex cos y, ex sin y).   Show that Df is always invertible, so that f 2 1   always exists locally.   Nonetheless, show that f 2 1  does not exist globally, by showing that f is not injective.  (This f is literally the complex exponential z 1- ez , expressed in terms of the real and imaginary parts z = x + iy.)

3.  A function from a Euclidean space to itself can often be viewed as a change of coordinates. A familiar example is the function f : R3  - R3  defined by

f (r, φ, θ) = (r sin φ cos θ, r sin φ sin θ, r cos φ),

which transforms spherical coordinates into Cartesian coordinates (x, y, z). For which (x, y, z) does there exist a local inverse to f? On those (x, y, z), is there a global inverse to f?

4.  This is a little review of linear algebra.

(a)  Let F : R3  - R2  be the affine transformation defined by

．(╱)．(、)  1- 、.

Show that the zero set X = ,v e R3  │ F (v) = 0、  is a line.  More

specifically, show this: possibly after reordering the variables x, y, z , show there is an affine transformation  f : R  -  R2 ,  such that X

equals the graph of f :  X  =  ,(x, f (x)) │ x e R、.  In other words,

on X, you can solve for two of the variables as implicit functions of the third. This problem is equivalent to what they ask you to do in linear algebra, but I have phrased it in the language of the implicit function theorem.