Scan your assignment into a single PDF file. Submit it through Moodle before 7:00p.m. on March 3, 2022 (Thursday).

You may use any result covered in lecture notes from Chapter 0 to Chapter 3 and the following theorem and definition for this assignment. However, if you use anything else, you must include in a full proof of the result that you are using.

1. Prove by ϵ-N method that the following sequences converge to the proposed limit.

(a) lim(1 + ) = 1.

(b) lim  = −  .

(c) lim( − ) = 0.

2. Show that  lim n2 = +∞ .

3. Suppose b  > 0.   Define a sequence (an) by a1  = k and an+1  =  (a + b)/(2an) for n  ∈ N.   Clearly an > 0, ∀n ≥ 2.

(a) For any fixed k, show that a ≥ b for n ≥ 2.

(b) Prove that (an) is a decreasing sequence. Thus (an) converges.

(c) Find lim an .

4. Let an ≥ 0 for all n ∈ N. Show that if (an) → 0, then ( → 0.

5.  (a) Use binomial theorem to show that

2n = (1 + 1)n ≥ n(n − 1)(n − 2)(n − 3) ,

for n ≥ 4.

(b) Use ϵ-N method to show that  lim   = 0.

∞                                         ∞

6. The series  P an  and  P bn  are convergent with the inequality

n=1                 n=1

an ≤ cn ≤ bn ,    ∀n ∈ N.

∞

Show that  P cn  also converges.

n=1

7. Let

B =  

Answer the following items without explanation.

(a) Find the limit points of B .

(b) Is B a closed set?

(c) Is B an open set?

n ∈ N .