This is the  “written assignment” for ST202 and counts for 10% of the module credit. DEADLINE: 12 noon Friday 4th March (Week 8).

Answers should be kept concise, clear and logically structured.   Credit will be deducted from solutions with excessive  “waffle” and if the presentation is illegible. This is part of the exercise to develop you into mathematicians who can present their work in a state that others can follow.  As such I am making that part of the assignment credit.

Throughout proofs and calculations explain (e.g.  in the margin) why you have taken significant steps e.g.  “by SMP”; “by tower property”; “by independence”; “by linearity of E” etc.

NOTE: for this whole sheet if it states that for some RV F we have F ~ Geom(q) then the parametrisation of the geometric is of the form P(Y = n) = (1 _ q)n q for n = 0, 1, 2, 3, . . ..

Questions:

1. To be extinct or not to be extinct, that is the question:  [10 Marks]

Let (Xn )n>＋  be a branching process (as described in lectures) with X＋  = 1. The following gives 3 different scenarios for the offspring distribution, Z.  In each case determine if the process is going to become extinct with certainty or not. Full credit for clear and concise working as well as the correct classification:

(i)  Z ~ Uniform{0, 1, 2}.

(ii)  Z ~ W + V + Y where W ~ Geom(100/151), V ~ Geom(10/13), and

Y ~ Geom(5/6).

(iii) We say that M ~ BetaBinomial(n, α, β) if for 0 < k e {0, 1, 2, . . . n}

P(M = k) = 9  、k(n) 

where B(x, y) is the beta function given by

Γ(x)Γ(y)

B(x, y) =

where Γ(.) is the Gamma function.

Suppose that  Z  ~BetaBinomial(100,  , 213).   You  may  use without proof that the mean of a BetaBinomial(n, α, β) distribution is given by . Determine whether the branching process become extinct?               (An aside: this is a distribution often used for data that appear to be “over- dispersed relative to a Binomial”. Intuitively, it can be seen to come from correlated rather than independent flips of the coin that would typically derive a Binomial distribution).

2. Probability of extinction  [10 marks] Let (Xn )n>＋  be a branching process (as described in lectures) with X＋  = 1. The following gives 3 different scenarios for the offspring distribution, Z.  In each case determine the probability that the process becomes extinct (in (ii) and (iii) give the answer in terms of the unspecified constants)

(i)  Z ~ Binomial(n = 2, p = 1/3).

(ii) For constants a, b, c e (0, 1) with a + b + c = 1 and c > a

．a   if  z = 0

P(Z = z) = │b    if  z = 1

．『 c    if  z = 2.

(iii) Let Z ~ U + Y where U ~ Geom(p) and Y ~ Geom(r) are independent random variables with

(1 _ r)      (1 _ p)

r              p

3.  Question: Rock around the clock:  [15 Marks] Let (Xn )n>＋  be a Markov chain defined on a state space I = {1, 2, 3, . . . , 12}.  Consider this to represent a clock face.  At each step the Markov chain will move to one of the adjacent neighbouring hours. In fact the stochastic matrix is as follows:

．p

Pij  =    q = (1 _ p)

『 0

if   j = i + 1 mod  12

if   j = i _ 1 mod  12

otherwise

where p e (0, 1) Furthermore, suppose that the chain is started in state 6, i.e. X＋  = 6.