Problem 1. Consider the Geometric family of distributions with parameter π e（0, 1) and probability mass function

f（y; π) = πu（1 - π),    y e {0, 1, . . .}.

(a)  [4 marks] Show that the Geometric family is an exponential dispersion family. Identify  the  functions  b（.)  and  c（.),  as  well  as  the  dispersion  and  canonical parameters.

(b)  [3 marks] Compute the mean and variance of the Geometric distribution and identify the mean-variance relationship.

(c)  [2 marks] Identify the  canonical link for  a Geometric GLM. Comment  on its suitability.

(d)  [2 marks] What other link functions might be suitable and why?

(e)  [1 mark] For what kind of data would a Geometric GLM be better suited than a Poisson GLM (Hint: look at the mean-variance relationship)?

(f)  [4 marks] Derive the likelihood (score) equations for the Geometric GLM when the

log link is used.  Explain how the equations simplify when the canonical link is used.

(g)  [4 marks] Calculate the Fisher Information Matrix for the Geometric GLM when the log link is used.

Problem 2.  Consider the following data on ear infections in swimmers from the 1990 Pilot Surf/Health Study of the New South Wales Water Board.

(a)  [5 marks] The data were first modeled with a GLM model m1 whose output is given

on page 4, lines 1–23. From this output:

– Identify the response and the predictors;

– Identify the GLM that was used and the link function;

– Identify the sample size n;

– For each main effect, write down whether it is treated as a factor or a covariate (continuous predictor).

(b)  [3 marks] In model m1, quantify the effect of Age and Loc on the response.

(c)  [3 marks] Fill in the values marked by XXX on line 12. Does the p-value allow you to conclude that Age is not a significant predictor? Explain.

(d)  [4 marks] What is the estimated mean number of self-diagnosed ear infections of a swimmer aged 22 who prefers to swim far from the beach?

(e)  [5 marks] A simpler model m2 whose output is given on lines 26–46 has been fitted to the data.  Test whether m2 is an adequate simplification of m1 at the 5%

significance level. Interpret the finding in terms of significance of Age and Loc. Use the R output on page 4, and the χu(2) table on page 5.

1  C a l l :

2  glm ( f o r m u l a  =  NumInfec  ˜  Age  +  Loc ,   f a m i l y  =  p o i s s o n ) 3

4  D e v i a n c e   R e s i d u a l s :

5          Min               1Q      Median               3Q            Max 6  - 1.9905     - 1.5449     - 1.2971       0 . 6 7 2 3       7 . 3 3 2 6 7

8  C o e f f i c i e n t s :

9                            E s t i m a t e   Std .   E r r o r   z  v a l u e   Pr ( >|z | )

10  ( I n t e r c e p t )     0 . 1 7 6 7 5         0 . 0 9 3 8 7       1 . 8 8 3     0 . 0 5 9 7 2   .

11  Age20 -24         - 0.34968         0 . 1 2 4 1 1     -2.817     0 . 0 0 4 8 4   **

12  Age25 -29         - 0.17896         0 . 1 2 9 8 2      XXXX      XXXX

13  LocNonBeach     0 . 5 0 6 9 2         0 . 1 0 4 3 0       4 . 8 6 0   1 . 1 7 e -06  ***                     14                                                                                                                               15  S i g n i f .   c o d e s :     0   ’* * * ’   0 . 0 0 1   ’* * ’   0 . 0 1   ’* ’   0 . 0 5    ’. ’   0 . 1   ’   ’   1

16                                                                                                                      17  ( D i s p e r s i o n   p a r a m e t e r   f o r   p o i s s o n   f a m i l y   t a k e n   t o   be   1 )

18                                                                                                                  19           N u l l   d e v i a n c e :   8 2 4 . 5 1    on  286     d e g r e e s   o f  f r e e d o m

20  R e s i d u a l   d e v i a n c e :   7 9 1 . 7 7    on  283     d e g r e e s   o f  f r e e d o m

21  AIC :   1 1 7 2 . 2

22

23  Number  o f   F i s h e r   S c o r i n g   i t e r a t i o n s :   6

24

25

26  C a l l :

27  glm ( f o r m u l a  =  NumInfec  ˜  Loc ,   f a m i l y  =  p o i s s o n ) 28

29  D e v i a n c e   R e s i d u a l s :

30          Min               1Q      Median               3Q            Max 31  - 1.8632     - 1.4522     - 1.4522       0 . 8 1 8 2       6 . 8 5 9 5 32

33  C o e f f i c i e n t s :

34                            E s t i m a t e   Std .   E r r o r   z  v a l u e   Pr ( >|z | ) 35  ( I n t e r c e p t )     0 . 0 5 2 9 9         0 . 0 8 0 3 2       0 . 6 6 0         0 . 5 0 9

36  LocNonBeach     0 . 4 9 8 4 3         0 . 1 0 2 8 0       4 . 8 4 9   1 . 2 4 e -06  ***

37                                                                                                                               38  S i g n i f .   c o d e s :     0   ’* * * ’   0 . 0 0 1   ’* * ’   0 . 0 1   ’* ’   0 . 0 5    ’. ’   0 . 1   ’   ’   1

39                                                                                                                      40  ( D i s p e r s i o n   p a r a m e t e r   f o r   p o i s s o n   f a m i l y   t a k e n   t o   be   1 )

41                                                                                                                  42           N u l l   d e v i a n c e :   8 2 4 . 5 1    on  286     d e g r e e s   o f  f r e e d o m

43  R e s i d u a l   d e v i a n c e :   8 0 0 . 3 6    on  285     d e g r e e s   o f  f r e e d o m

44  AIC :   1 1 7 6 . 8

45                                                                                  46  Number  o f   F i s h e r   S c o r i n g   i t e r a t i o n s :   6