STA130B Problem 1 （1）

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Problem 1 (14 points)

 

Let X1 , ..., Xn    Laplace (θ) with pdf

f (xlθ) = e–9|z|         (x e 皿 ; θ > 0)

 

NOTE: For this problem, denote the αth-quantile of the standard normal distribution as za , i.e. P (Z < za ) = α where Z ~ N (0, 1).

1.  (7 pt) Compute the Fisher information I(θ).

2.  (3 pt) Find the asymptotic distribution of θˆMLE .

3.  (4 pt) Give an approximate 95% confidence interval for θ based on the asymptotic distri- bution of the MLE.


Problem 2 (20 points)

 

Let X1 , ..., Xn   Laplace (θ) with pdf

f (xlθ) = e–9|z|         (x e 皿 ; θ > 0)

 

NOTE: The pdf of the Exponential (λ) distribution is

f (xlλ) = λe–入z         (x > 0 ;  λ > 0)

The pdf of the Gamma (α, λ) distribution is

f (xlα, λ) = xa– 1 e –入z         (x > 0; α > 0; λ > 0)

Note that the Exponential (λ) distribution is a special case of the Gamma (α, λ) distribution when α = 1.

 

1.  (6 pt) Find a sufficient statistic for θ.  Be sure to explicitly label the g and h functions when using the Factorization Theorem.

2.  (10 pt) Let the prior distribution of θ be Exponential(λ) where the hyperparameter λ is known. Find and fully specify the posterior distribution of θ given an iid sample X1 , ..., Xn .

3.  (4 pt) Write an integral expression for the posterior median. (You do not need to solve the integral).


Problem 3 (16 points)

 

Let X1 , ..., Xn    Laplace (θ) with pdf

f (xlθ) = e–9|z|         (x e 皿 ; θ > 0)

 

For θ 1  > θ0 , suppose we are testing the hypotheses

H0  : θ = θ0  vs. H1  : θ = θ 1

 

1.  (2 pt) Explain why the Neyman-Pearson Lemma is an “optimality” result.  In what way is a Neyman-Pearson based test the “best”?

2.  (2 pt) Could we directly apply the Neyman-Pearson Lemma for the test described in this problem? Provide a short justification.

3.  (6 pt) Show that a likelihood ratio test for H0 vs. H1 that rejects when Λ < C is equivalent to a test which rejects when      lXi l < K for some constants C, K .

4.  (6 pt) If X1 , ..., Xn    Laplace (θ), then      lXi l ~ Gamma(n, θ).

Let G0  ~ Gamma(n, θ0 ) and G1  ~ Gamma(n, θ1 ) with CDFs F0  and F1  respectively.

Write expressions for the significance level AND power of the test that rejects H0  when  lXi l < K .















2022-02-23