1.        Light travelling in air is incident at an angle 0  = 33° to a glass plate, where 0 is measured between the incoming ray and the glass surface. Part of the light is reflected, and part is refracted. If the refracted and reflected rays make an angle of 90° to each other, what is the refractive index of the glass? What is the critical angle for this glass?

2.        A point source of light is 12 cm below the surface of a large body of still water ( = 1.33) with air above. What is the radius of the largest circle on the water surface from through which light can emerge?

3.        Estimate the  peak  electric field strength,  in  −1,  of the  guided  electric field  of a  dielectric waveguide with a 5 m by 5 m cross-section surrounded by an infinite cladding on all sides . The vacuum wavelength is 1.55 um, the core and cladding have a refractive index of 1.49 and 1.45 respectively and the total launched power is 100 mW. The estimate should be based on reasonable assumptions about the profile and field of the bound mode(s) that are substantially excited: an exact calculation is not required.

4.        This question concerns the modes of a symmetric dielectric slab waveguide. A summary of the pertinent theory is first provided:

The dielectric slab waveguide has continuous translation symmetry along its axis (z-direction). It therefore supports modes describe by a scalar field  of the form:

(, ) = () exp()

Substitution into the Helmholtz equation leads to the simple harmonic motion equation:

+ (2  − 2) = 0

Supplemented by boundary conditions at the core-cladding interface, the preceding equation yields an eigenfunction-eigenvalue problem with  playing the role of the eigenvalue. This has solutions exp(±) where 2  = 2  − 2  or equivalently exp(±) where 2  = 2  − 2  where 0  is the vacuum wavenumber and  is the piecewise constant local refractive.

The symmetry under the inversion  ⟶ −  results in modal fields with either even parity:

(, ) = {                cos() exp()                     − ≤  ≤ 

or odd parity:

(, ) = {                sin() exp()                     − ≤  ≤ 

where the core -cladding interfaces are located at  = ± .

Decaying solutions are chosen in the cladding and oscillatory solutions in the core consistent with the modes being bound. This requires:

02  <  < 01

2  =  2  − 2

2  = 2  − 2

where 1, 2 are the refractive indices of the core and cladding respectively.

The continuity of the value of the field is satisfied in the preceding by the choice of amplitude of the cladding fields at the core-cladding interface. Only the continuity of the derivative remains to be satisfied:

Continuity of ⁄ (TE) or (1⁄2) ⁄ (TM) at  = ± implies:

− cos() = − sin()

⟹

tan() =    

− sin() =  cos()

⟹

tan() = −    

1                               1

                            ⟹

tan() =          

1                        1

−  sin() =   cos()

⟹

tan() = −         

a)   What  is the  meaning  of “mode  cut-off”  and  how  can you  determine  it from the  dispersion equation?

b)   Write a Matlab script for a symmetric slab waveguide that solves the dispersion relation and plots the modal field profile in the transverse plane (i.e. a section along the  −axis). A paper:

R. D. Kekatpure, A. C. Hryciw, E. S. Barnard, M. L. Brongersma, ‘Solving dielectric and plasmonic waveguide  dispersion relations  on  a pocket calculator’,  Optics  Express,  17(26),  24112-  24129,

(2009).

which you may find helpful, has been posted on Brightspace.

Include your script(s) with your answers. The scripts should be structured and well commented.

c)    Use your script to plot the modal field amplitude in the transverse plane for the first two modes Set: 1  = 1.51, 2  = 1.49.

i)     moderately above cut-off;

ii)   only just above cut-off;

iii)  far above cut-off;

providing limits or bounds on , , ,   as appropriate.

d)   Give physical explanations for the observed behaviour.

5.        This question concerns the modes of an asymmetric dielectric slab waveguide. A summary of the pertinent theory is first provided:

For an asymmetric slab, the decay constants in the cladding are no longer equal and the field in the core is no longer a pure cosine or sine but a linear superposition of the two which is equivalent to a spatial phase shift. The higher index cladding will have a smaller decay constant than the lower index cladding. Consequently, the mode profile within the core is pulled towards the higher index of the upper or lower cladding to satisfy the boundary conditions. If the two cladding refractive indices approach equality, the spatially phase shifted solutions smoothly evolve into the even parity and odd parity solutions of the symmetric slab-waveguide and may be categorized as such.

Following a similar analysis as for the symmetric slab waveguide but accounting for the asymmetry yields the dispersion equations

 =     +    tan−1 (          ) +    tan−1 (           )              ;

 =     +    tan−1 (                   ) +    tan−1 (                    )    ;