the monopoly’s product, his utility is θìv 4 q| xp, where v > | is a constant, q is the effort the monopoly

puts into improving the quality of her product, and p is the unit price.  If a consumer does not buy from the monopoly, his utility is zero. Therefore, a consumer of type θ buys from the monopoly only if θìv 4 q| x p > |. We assume that the population distribution of θ has a density, so we do not need to worry what would happen when θìv 4 q| x p = |. Given p and q, the mass of consumers who purchases the monopoly’s product is thus | x F ╱ 、  where F is a known continuous and strictly increasing function such that F ì|| = | and F ìθ≠| = |.  Spending effort q leads to an R&D cost of cìq| which is

non-negative, strictly increasing with q and independent of the number of sold units. For simplicity, we assume that the cost of production is zero. Therefore, the producer’s problem is the following:

maxp,q

s.t.

p ╱ | x F ╱ 、、 x cìq|;

p > |

q 2 |.

Clearly, the constrained set is neither closed nor bounded.

(a)  [5 marks] Show that the strictly inequality constraint p > | posts no difficulty.

(b)  [5 marks] Show that the monopoly’s profit (her objective function) cannot exceed θ≠ìq 4 v| x cìq| given q .

(c)  [5 marks] Assume that c is continuously differentiable and ce ìq| → o as q → o, which means that for every M > |, there exists an N > | such that ce ìq| > M whenever q > N .  Show that the monopoly’s problem has a solution.

Solution.

(a) By assumption, if the monopoly chooses q = | and p =  , her profit would be  ì| x F ì|/≥|| x cì|| > xcì||, whereas her profit converges to xcìq| < xcì|| when p → |.  Therefore, it is never optimal to choose a p very close to zero.

(b) If p > θ≠ìq 4 v|, θìv 4 q| x p < | for all θ  e  [|, θ≠], so nobody would buy from the monopoly.

Consequently, the monopoly’s profit would be xcìq| <  xcì||.  Therefore, the monopoly would always choose p < θ≠ìq 4 v|.  Since | x F ìp/ìv 4 q|| < | for all values of p and q, the monopoly’s profit is less than θ≠ìq 4 v| x cìq|.

(c) Let gìq| = θ≠ìq 4 v| x cìq| for q 2 |.  Since ce ìq| → o as q → o, there exists a Q > | such that

ce ìq| > ≥θ≠ and thus ge ìq| < xθ≠ whenever q 2 Q. Therefore, for q > Q and p > |,

gìq| < gìQ| x θ≠ìq x Q|.

(Since ge ìq| < xθ≠ for q > Q, gìq| 4 θ≠q is strictly decreasing in q for q 2 Q.) The above inequality shows that gìq| → xo as q → o.  Since the monopoly’s profit is less than gìq|, there is a  2 | such that p ì| x F ìp/ìv 4 q||| x cìq| < xcì|| if p > θ≠ìv 4 q| (due to zero revenue) or q >  (due to small gìq|).  Therefore, adding the constraints that p < θ≠ìq 4 v| and q <  does not change the solution of the problem. Now p e [|, θ≠ì 4 v|] and q e [|, ] under the new constraints, so the problem has a solution.

3.  [10 marks] Determine whether the following optimisation problem has a solution:

max(x,y,z)iR3

s.t.

x 4 ≥y x 之z;

x2 x 之xy 4 z2  < ξ;

娄x2 x ≥xy 4 y2 4 娄xz 4 ||z2  = |||.

Solution. All functions involved are continuous and defined on R3 , and ì|, ||, || satisfies both constraints.

It remains to determine whether the constrained set is bounded.  Notice that the left hand side of the

second constraint is a quadratic form with matrix

╱ 娄     x|    ≥ 、

!                      |

!x|     |      |  | .

． ≥      |     ||．

The leading principal minors of this symmetric matrix are 娄, 3, and 26, all being positive.  Therefore, the above matrix is positive definite. Let λm  be its smallest eigenvalue. Then when Iìx, y, z|I > ||λm(-)1/2 , the left hand side of the second constraint is bigger than 100. This shows that Iìx, y, z|I < ||λm(-)1/2  for all ìx, y, z| satisfying the second constraint. Therefore, the problem has a solution.

4.  [10 marks] Consider the one-period investment problem. There are n securities available on Date 0 and their prices are given by the | o n matrix p. There are m states on Date 1. The price of Security j in State i is aij ; let A be the m o n matrix whose ìi, j| entry is aij . Let πi  be the probability mass of State i; πi  > | for every i and ( πi  = |.  The investor has wealth w > | at the beginning of Date 0 for

consumption and investment. Her problem is the following

maxciR,xiRn ,biR.

s.t.

m

u0 ìc| 4上 πi u1 ìbi |;

i=1

b = Ax;

c 4 px < w;

c 2 |;

bi  2 |, for i = |, ..., m.

Here u0  and u1  are strictly increasing and continuous functions.  Assume that the market is complete and the Law of One Price holds. In addition, assume that the state price of every state is positive. The goal is to show that the problem always has a solution.

(a)  [3 marks] Before we attack the original problem, consider the following simpler problem with q e Rm being the unique state price vector satisfying the condition that qT A = p:

maxciR,biR.

s.t.

m

u0 ìc| 4上 πi u1 ìbi |;

i=1

c 4 qT b < w;

c 2 |;

bi  2 |, for i = |, ..., m.

By assumption, qi  > | for i = |, ..., m. Show that this new problem always has a solution.

(b)  [3 marks] Assume that ìc* , b* | is a solution to the new problem.  Show that we can always find an x*  e Rn  such that b*  = Ax* .

(c)  [4 marks] To show that the ìc* , x* , b* | solves the original investor’s problem by contradiction, sup- pose that there exists some ì, , | satisfying all constraints of the original problem and u0 ì| 4 ( πi u1 ìi | > u0 ìc* | 4( πi u1 ìbi(*)|. Show that this contradicts the optimality of ìc* , b* | in the new problem.

Proof.  (a) Clearly, c = | and bi  = | for every i satisfies all the constraints. Every function is continuous and there is no strict inequality constraint.  Since qi  > | for every i, | < c < w and | < bi  < w/qi for every i. Therefore, the feasible set is bounded.

(b) Since the market is complete, the column space of A is the entire Rm ; in particular, b*  is in the column space of A.

(c) Suppose that there exists some ì, , | satisfying all constraints of the original problem and u0 ì| 4 ( πi u1 ìi | > u0 ìc* | 4 ( πi u1 ìbi(*)|.  Then  2 | and i   2 | for every i by assumption.  In

addition,  = A by assumption and thus 4 qT  = 4 qT A = 4p < w . Therefore, ì, | satisfies all the constraints of the new program and yields higher value of the objective function that ìc* , b* |, contradicting the optimality of ìc* , b* |.

5. There are two ways to describe a surface in R3 .  The first way is to specify an equation it satisfies.  If F ! R3  → R is a continuously differentiable function, then M = {ìx, y, z| e R3  ! f ìx, y, z| = |} describes a surface.  The second way is to describe points on the surface using parameters.  Let A be an open subset of R2  and P ! A → R3  be a continuously differentiable function. Then P can describe (perhaps not all) points on the surface if P ìa| e M for every a e A. In this case, a motion on the surface can be described by the dependence of parameters on time in the following sense: if Q ! R → A is a continuously differentiable function (with variable interpreted as time), then P ìQìt|| e M for every t e R and thus

P 。Q describes how a particle moves on the surface.  The velocity of the particle is the derivative of P 。Q.  For each surface and parametrization below, answer the following questions (5 marks for each part and each surface):

(a) Determine whether M is open, whether it is closed, and whether it is bounded. (b) Show that for every a e A, P ìa| e M .

(c) Does Fe ìx, y, z| always have rank 1 for every ìx, y, z| e M?

(d) Show by computation that for every continuously differentiable Q ! R → A, the velocity ìP 。Q|e ìt| at time t belongs to the kernel of Fe ìP ìQìt|||, the derivative of F at the position of the particle at time t.

(e) Determine for which ìx, y, z|  e M the set of all velocity vectors at ìx, y, z| spans the kernel of

Fe ìx, y, z|.

Consider two surfaces:

(1) F ìx, y, z| = x2 4 y2 x z; A = R o ì|, o| = {ìθ, z| e R2  ! z > |} and P ìθ, z| = ì′z cos θ, ′z sin θ, z|.

(2) F ìx, y, z| = x2 4 y2 x z2 ; A = R2  and P ìθ, z| = ìz cos θ, z sin θ, z|.

Solution.

(1)  (a) F is a continuous function and {|} is a closed set, so M is closed.  Since M  0 and M  R3 , M is

not open. M is not bounded as ìn, |, n2 | e M for every n e R.

(b) This is straight forward:

F ì (ìz| cos θ, ′z sin θ, z| = z cos2 θ 4 z sin2 θ x z = |,

where we used the trigonometric formula that cos2 4 sin2  = |.

(c) For every ìx, y, z| e R3 , Fe ìx, y, z| =  ╱ ≥x   ≥y   x|、.  Since its third component never vanishes, it always has rank 1.

(d) Denote Q ! R → A by Qìt| = ìòìt|, Zìt||. Then the chain rule implies that

╱ x(Zìt| sin òìt|、              ╱ Zìt|- 1/2 cos òìt|、

ìP 。Q|e ìt| =   (Zìt| cos òìt|   òe ìt| 4 Zìt|- 1/2 sin òìt|  Ze ìt|.                   (1)

．            |           ．              ．             |             ．

Meanwhile, Fe ìP ìQìt||| =  ╱ ≥Zìt|1/2 cos òìt|   ≥Zìt|1/2 sin òìt|   x|、.   Direct computation shows that Fe ìP ìQìt|||ìP 。Q|e ìt| is indeed identically zero. (This result actually can be proved in general using the multivariate chain rule.)

(e) The two vectors on the right hand side of Eq.  (1) are linearly independent, as their inner product is zero and both are non-zero. (Notice that we have assumed that Zìt| > | for every t e R. The velocities span a two-dimensional subspace of R3 .  Since the kernel of Fe ìP ìQìT||| is always two-dimensional

by the rank-nullity theorem, the set of velocity vectors at ìx, y, z| spans the kernel of Fe ìx, y, z| at every ìx, y, z| e M . (This result can be proved in general using the Inverse Function Theorem.)

(2)  (a) F is a continuous function and {|} is a closed set, so M is closed.  Since M  0 and M  R3 , M is

not open. M is not bounded as ìn, |, n| e M for every n e R.

(b) This is straight forward:

F ìz cos θ, z sin θ, z| = z2 cos2 θ 4 z2 sin2 θ x z2  = |.

(c) For every ìx, y, z| e R3 , Fe ìx, y, z| = ╱≥x   ≥y   x ≥z、, which vanishes only at ì|, |, ||. Since ì|, |, || e M , the rank of Fe ìx, y, z| is 1 for ìx, y, z| e M \ {ì|, |, ||} and 0 at ì|, |, ||.

(d) Denote Qìt| by ìòìt|, Zìt||. Then

╱ xZìt| sin òìt|、              ╱cos òìt|、

ìP 。Q|e ìt| =   Zìt| cos òìt|   òe ìt| 4 sin òìt|  Ze ìt|.                             (2)

．                      ．              ．            ．

Meanwhile, Fe ìP ìQìt|||  =  ╱ ì≥Zìt| cos òìt|   ≥Zìt| sin òìt|   x ≥Zìt|、.   Direct computation shows that Fe ìP ìQìt|||ìP 。Q|e ìt| is indeed identically zero.

(e) The two vectors on the right hand side of Eq.  (2) are linearly independent when Zìt|  | and they are orthogonal and both are non-zero in this case. Meanwhile, KerFe ìx, y, z| is two-dimensional when ìx, y, z|  ì|, |, ||. Therefore, the set of velocity vectors at ìx, y, z| span the kernel of Fe ìx, y, z| when