Spring 2022

TOPICS AND SAMPLE PROBLEMS:

·  Topic 1: Linear systems of equations. You should be able to:

1.  Find the solution set of a system of linear equations by using the row reduction algorithm.

2. Write such a solution set in parametric vector form, i.e. as p + x1 v1  + . . . + xr vr  for vectors p, v1 , . . . , vr  and free parameters x1 , . . . , xr .

3.  Notice that p = 0 is a solution if the system is homogeneous.

Sample problem: Find the solution set of the equation Ax = b, and give your answer in parametric

·  Topic 2: Row Echelon Form (REF) and Reduced Row Echelon Form (RREF). You should be able

to:

1.  Recognize whether a matrix is in REF, RREF, or neither.

2.  Find REF and/or RREF of a matrix.

3.  Given REF of an augmented matrix [A l b], find the number of solutions to Ax = b.

4.  Given REF of a matrix A, determine:

(a) whether, for every choice of b, the equation Ax = b has |A /↓|§A one solution. (b) whether, for every choice of b, the equation Ax = b has |A 诂扌§A one solution.

(c) whether the homogeneous equation Ax = 0 has any nontrivial solutions.

1)  Determine which of the matrices are in REF, which are in RREF, and which are in neither.

2)  For each matrix in REF, suppose A is a row equivalent matrix, and determine:

a) whether, for every choice of b, the equation Ax = b has |A /↓|§A one solution

b) whether, for every choice of b, the equation Ax = b has |A 诂扌§A one solution.

·  Topic 3: Linear independence and linear dependence. You should be able to:

1.  Understand the definition of linear independence and linear dependence.

2.  Determine whether vectors are linearly independent or linearly dependent.

Sample problem: For what value(s) of the parameter h are {v1 , v2 , v3 } linearly independent?

┌    1 ┐ v1  :=  '(')    1  '(') ,

'        '

┌  1 ┐

v2  :=  '(')  1  '(') ,

'     '

┌ h ┐

v3  :=  '(')  3  '(')

0

·  Topic 4: Span. You should be able to:

1.  Determine whether a given vector lies in the span of some other given vectors.

2.  Determine whether some given vectors span all of Rm .

3.  Give a geometric description for the span of some given vectors.

Sample problem: For what value(s) of the parameter h is c in the span of a and b?

┌    1 ┐ a :=  '(')    0  '(') ,

'        '

┌  _3 ┐

b :=  '(')    1  '(') ,

'        '

┌    h ┐

c :=  '(')  _5  '(')

_3

·  Topic 5: Linear transformations. You should be able to:

1.  Find the standard matrix of a linear transformation.

2.  Describe the range of the linear transformation as the span of some vectors.

3.  Determine whether a linear transformation is one-to-one.

4.  Determine whether a linear transformation is onto.

┌  1 ┐     Sample problem:  Let T : R3   → R3  be a linear transformation that maps the vector  '(') 0  '(') to

'     '

┌  1 ┐                    ┌ 0 ┐      ┌  1 ┐                          ┌ 0 ┐      ┌  1 ┐

'(')  0  '('), the vector  '(') 0  '(') to  '(') 0  '('), and the vector  '(')  1  '(') to  '(')  1  '(')

1                             1               1                                    0              0

1)  Find the standard matrix associated with T.

2)  Describe the range of T and the set of all x for which T (x) = 0.

3) Is T onto? Justify your answer.

4) Is T one-to-one? Justify your answer.

·  Topic 6: Matrix arithmetic. You should be able to compute sums, linear combinations, and products

of matrices whenever they are defined.

Sample problem: Consider the matrices

Calculate each of the following, or explain why

1)  CA

2)  CA + 2A

3)  AB

4)  A + C

_     ┐''' ,        C :=  ┌3(1)

it is not defined:

3(1) ┐ .