Please make sure to read the Assignment Instructions posted on Quercus to find out how and when to submit your assignment, what is expected of you, etc.

On Test 1, you saw that we can consider matrices with complex, non-real number entries, and compute their determinant in the usual way.1 We will continue pushing on the notion of complex matrices in this assignment.

Keep in mind, that outside of this assignment, unless stated otherwise, we are always working with matrices with real numbers, considering only real eigenvalues, and so on. So, if we don’t say otherwise, matrices have real number entries and ‘diagonalizable’ means diagonalizable with only real eigenvalues/vectors.

Read the following, and then answer the questions below.

First, there are some natural algebraic facts that can be verified in a straightforward fashion:

Theorem 1

If A and B are two square matrices with complex entries and z is any complex number, then the following are true:

1. (A+ )+ = A

2. (kA)+ = kA+

3. (A + B)+ = A+ + B+

4. (AB)+ = B+ A+

We now define a special kind of complex matrix:

A square matrix A with complex entries is called super-symmetric if A+ = A.

Before continuing, you should write down some examples of super-symmetric and non-super-symmetric matrices to get a feeling for them. You may notice that in all of your super-symmetric matrices, the entries on the diagonal are real numbers. This is true in general:

1.1   True or False:  If A is an n × n matrix (for n ≥ 2), then the matrix A + A+  is super-symmetric.

1.2   True or False:  If A is an n × n matrix (for n ≥ 2), then the matrix A − A+  is super-symmetric.

1.3   True or False: If A is a super-symmetric matrix and A is invertible, then A − 1  is super-symmetric.2

Consider the following definition and answer the questions that follow:

The same facts about P and D apply when A is complex-diagonalizable: namely, that D will have the set of eigenvalues of A on it’s diagonal, and that the columns of P will consist of the corresponding eigenvectors of A (possibly with complex numbers in them!)

Note that a matrix A being diagonalizable in the usual sense (with only real number eigenvalues) implies that A is complex-diagonalizable (since real numbers are just complex numbers with no imaginary part (i.e z real means z = a + 0i).)  But we will see shortly that there are complex-diagonalizable matrices which are not diagonalizable.

Before we continue though, we record some theorems about diagonalization which apply equally to complex-diagonalization:

2Note that inversion and invertibility of complex matrices works in exactly the same way as for matrices with only real numbers.

2.1   We know that A = # is not diagonalizable.3

Show that A is however, complex-diagonalizable.

2.2   Complex-diagonalize the following matrix:

−2

0

0    0

2    0

(That is, find it’s eigenvalues (including complex ones), and for each eigenvalue determine

(possibly complex) eigenvectors, in order to create D and P in the usual way. You do not have to determine P − 1 explicitly, just P.)

Write all complex numbers appearing in P and D in Cartesian form (a + bi) in your final answer.

A fact about polynomials is that they can always be factored into linear terms if

we allow complex numbers. That is, if p(x) = xn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 is a polynomial, then there are complex numbers α1, ..., αn (possibly some or all are real numbers, and there can be repeats) such that p(x) factors into (x − α1) · ... · (x − αn). (The numbers αi are the roots of p(x).)

You may notice in the above example that two pairs of complex roots appear: ±3i and 1 ± 2i. A subtle follow-up fact about polynomials with complex roots is that this always happens:

3See Example 5 in the Section 3.3 pre-class reading. Notice the wording in the pre-class reading: because the characteristic polynomial of this matrix had no real eigenvalues, we said that it had "no eigenvalues" and so was not diagonalizable. Again, in this assignment (and in the future only when we specifically mention they are allowed), we are considering complex eigenvalues, and so the matrix will be complex-diagonalizable.