Please submit scans / photographs of your full solutions (if handwritten) or pdfs (if typed) to the Crowdmark dropbox by the above date. You are welcome to discuss these problems with your classmates, but your submission must be your own work and written in your own words.  Also please include an acknowledgement naming any classmate who helped you and citing any outside sources you consulted. You are not required to use exactly the same notations that are used in the lectures and course notes, but if you wish to modify or introduce your own notation you must first clearly define it.

1. Let f : R3 → R be a C1 function and S be the level set defined by f (x) = 4. Assume that the origin lies inside the level surface S, and that there is a point a e S at which the distance to the origin is maximized. Show that the normal vector to the surface S at a is parallel to a.

2.  Suppose that c : [-1, 1] → R2  is a continuously differentiable path with c/ (t) = 0 if and only if t = 0.

(a) How can you decide if the plane curve c*  has a cusp  at c(0), a kink  at c(0), or looks

smooth at c(0)? Give examples illustrating all three cases.

(b)  Give a precise definition of a cusp, and state and prove conditions on the path c(t) under

which the corresponding curve c* must have a cusp. Are there other behaviours for such a curve?

3. Assume that c : [-1, 1] → R3 is a nondegenerate path in space that is infinitely differentiable, and assume that  |c/ (s)| =  1 for all s  e  [0, 1], i.e.   s is arc length on c* .   Suppose that the curvature κ(s) never vanishes, so that (T(s), N(s), B(s)} is an orthonormal basis for all s e R.

(a)  Show that (T/ (s), N/ (s), B/ (s)} is never a basis for any s e R.

(b)  Show that (T// (s), N// (s), B// (s)} fails to be a basis for R3  at s e R if and only if  the ratio  has a critical point at s, i.e.  ╱ 、/ = 0.

Hint : Use the Frenet formulas to show that

|T/ (s)   N/ (s)   B/ (s)」= |T(s)   N(s)   B(s)」  'κ(s)

-κ(s)

0

τ (s)

0   ┐

-s)'' ,