Exercise 1. Consider an inhomogeneous Poisson point process (Tn)n≥1  on R+ with continuous rate function λ : R+ ! R+ .

(i)  Compute the distribution of each waiting time Wn , n ≥ 1.

(ii) In the model case of a rate function given by ´ λ = (t/β)↵  for some ↵ , β > 0, compute the expectation and the variance of each waiting time Wn , n ≥ 1.

Exercise 2.  Assume that the mortality rate of a unicorn increases by 10% every year and assume that a proportion 1/100 of unicorns live only between 63 and 64 years. Compute the probability that a unicorn lives no more than 71 years given that they have lived already for 70 years.

Exercise 3.  Consider the following game:  A fair die is rolled.  If the outcome is even, the player receives a number of dollars equal to the outcome on the die.   If the outcome is odd, a number is selected at random from the interval [0, 1) with a balanced spinner, and the player receives that fraction of a dollar associated with the point selected.

(i) Define and sketch the cdf of X, the amount received.

(ii) Find the expected value of X .

Exercise 4.  A customer buys a $1000 deductible policy on their $31,000 sailboat.  The probability of having an accident in which the loss is greater than $1000 is 0.03, and then that loss, as a fraction of the value of the sailboat minus the deductible, has the pdf f(x) = 6(1 − x)5 , 0 < x < 1.

(i) What is the probability that the insurance company must pay the customer more than $2000? (ii) What does the company expect to pay?

Exercise 5. For each of the following functions,

(i)  f(x,y) = c(x +2y), x 2 {1, 2}, y 2 {1, 2, 3};

(ii)  f(x,y) = c(x + y), x 2 {1, 2, 3}, y 2 {1,...,x};

(iii)  f(x,y) = c(1/4)x (1/3)y , x 2 {1, 2,...}, y 2 {1, 2,...}.

(iv)  f(x,y) = c(x + 1)(4 − x)(y + 1)(3 − y), x 2 {0, 1, 2, 3}, y 2 {0, 1, 2} with x  y; your are asked to

(a) determine the constant c so that f(x,y) satisfies the conditions of being a joint pmf for two

discrete random variables X and Y;

(b) compute the marginal pmfs of X and Y;

(c) determine whether X and Y are independent or not;

(d) compute E [X] , E [Y] , Var[X] , Var[Y] , Cov [X; Y] , ⇢(X,Y).

Exercise 6. Roll a pair of four-sided dice, one red and one black. Let X be the outcome on the red die and let Y be the sum of the two dice.

(i) Determine the joint pmf of (X,Y).

(ii)  Compute the marginal pmfs of X and Y .