Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

STAT 3445-005, Spring 2022

Practice Exam Midterm 1

● Final answers, if any, are circled.

● Work on all 3 questions. Make sure to provide all steps to the final answers.

1.  (15 points)  Let x1 , x2  be independent standard normal distribution whose density function is given as

follows

(a)  (10 points)  Define U1 =  ,   U2 = x1 2(一)x2  . Find the joint density function of U1  and U2 , that is, fI1 ,I2 (y1 , y2）.  (Hint : Use Jacobian transformation.)

(b)  (5 points)  Are U1  and U2  independent? Justify.

2.  (20 points)  Let [x1 , . . . , xn ] be a random sample of size n from N (u, g2）whose density function is

(a)  (5 points)  Define  =  8(n) xi . Identify the distributions of (i)  and (ii) )n (X 一u（.  (No proof is

needed).

(b)  (5 points)  Define Zi  = xX(i一)u , i = 1, . . . , n. Find the monent generating function of U1  = Z1(2).  (Hint : Find the distribution of Zi  and calculate M(etI）= M(etZ 1(2)）= /一o(o) et3 2 f (3）d3).

(c)  (5 points)  Using (b), identify the distribution of Z1(2). Also, find the moment generating function of n

w = 8 Zi(2)  and identify its distribution.

i= 1

(d)  (5 points)  Show that

where tn一1  denotes the t-distribution with n ━ 1 degrees of freedom. You can use that (i)  and s2

are independent, (ii) (nX(一1)（2S 2   ∼ xn一1（  and (iii) s2 = n1一1  8(n) (xi ━ ）2  without proof.  (Hint : recall

the definition of t-distribution)

3.  (15 points)  Let [x1 , . . . , xn ] be a random sample of size n from Unif (0, 9）whose density function is

(a)  (5 points)  Find the density function of x(n（  = maz(x1 , . . . , xn）, the maximum order statistic.

(b)  (5 points)  Let 9ˆ1 = 2 =  8 xi  be an estimator for 9. Find the MSE of 9ˆ1 .

(c)  (5 points)  Let 9ˆ2 = x(n（  be another estimator for 9. Find the MSE of 9ˆ2 . Recall : dsM(9ˆ）= B(9ˆ）2 ＋v (9ˆ）and B(9ˆ）= M(9ˆ）━ 9 .