Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit


Physics 2301:  Problem Set #5

 

1.  Four identical masses (each size m) are attached to the corners of a square frame of dimensions 2a × 2a. The frame is of negligible mass. Initially the system rotates in its plane with ω- = ω zˆ, with the CM at rest. We briefly fire a rocket thrusters in to the page at corner B , endowing the system with momentum _Pzˆ . As it happens, P = 2mωa.

(a)  Find the new angular momentum  (relative to an origin at the CM) and spin ω- , expressed in the , yˆ, zˆ basis.

(b)  Find the velocities of each of the four masses just after the thrust, and use them to compute the total kinetic energy. Also compute the kinetic energy using the formula MvC(2)M  + 0 . ω- .

(c)  How long will it take before the square again lies in an - yˆ plane (granted, at a new z).

2.  Consider a gyroscope comprising a uniform disk  (of mass m and radius R) and a (massless) handle of length e.  There is gravity g in what we’ll call the _zˆ direction, and the handle makes an angle φ relative to the horizontal as it attaches to a frictionless pivot.  We are given the spin rate ωs , and as you understand, the full spin vector is ω- = ωs eˆ3 + Ωzˆ where Ω is a quantity we seek to determine.

(a)  For the special case φ = 0, express  and find the precession rate Ω.

(b)  For generic φ, work in the  “gyroscopic approximation” where we assume ωs  > Ω (and that we can therefore ignore the contribution of Ω zˆ to , again find (approximately) the precession rate Ω for general angle φ .

(c)  Finally, make no approximation as you include the Ω zˆ contribution to , and find the quadratic equation which Ω must satisfy.  (No need to solve the quadratic.)


3.  Consider bungee jumping on platform rotating at angular speed Ω. A jumper of mass m starts from essentially at rest at the origin O and slides down a frictionless rail which constrains the motion to the 1  axis. The rope has natural length e, so from 0 to point A they slide freely with a slack rope.  At point A the rope engages, and acts as a spring which just happens have constant k = 2mΩ2 .

(a) What is the jumper’s speed (relative to the platform) as they pass point A? (b)  How far from O do they get before turning around?

(c) What is the largest normal force required from the tracks during this experiment?

4.  Consider a  “half-pipe”  (a frictionless rail in the shape of a semi-circle of radius R) on a turntable rotating counterclockwise at ω. We work in the rotating frame, and represent Shaun White by a bead of mass m which starts essentially at rest at the origin (φ = 0) and slides along the rail to point A (φ = π). 

(a)  Parameterizing -r(φ) = R sin φ + R(1 _ cos φ)yˆ, compute the work done by the centrifugal force from the origin to generic point φ, and verify that it equals the change in centrifugal potential,  mω 2 |-r|2 .

(b)  Find the speed of the bead  (relative to the turntable) and the normal force on the bead as a function of φ .

5.  Morin 10.29 (Bead on a hoop) p. 485

6.  Morin 10.31 (Roche limit) and 10.32 (Roche limit with rotation) p. 486