Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Fin 500Q –  Quantitative Risk Management

Homework #4 Solutions

1.  The probability density function for an exponential distribution is λe_λx  where x is the value of the variable and λ is a parameter. The cumulative probability distribution is 1 _ e_λx . Suppose that two variables V1 and V2 have exponential distributions with λ parameters of 1.0 and 2.0, respectively. Use a Gaussian copula to define the correlation structure between V1  and V2 . You can use the file “bivar.xls” to compute values of the cumulative bivariate normal distribution function.

(a) What is the probability that V1  s 1?

Answer: The probability is 1 _ e_ 1 .0 . 1  = 0.632.

(b) What is the probability that V2  s 1?

Answer: The probability is 1 _ e_2 .0 . 1  = 0.865.

(c) With a copula correlation of 0, what is the probability that V1  s 1 and V2  s 1?

Answer:  The probability that V1  s 1 is transformed to the normal value U1  = Φ _ 1 (0.632) = 0.337. This probability can be calculated in Excel with the formula =NORM.INV(0.632, 0, 1).         Similarly, the probability that V2  s 1 is transformed to the normal value U2  = Φ _ 1 (0.865) = 1.102. With a copula correlation of 0, we can use the provided Excel file to find that the joint probability is M (0.337, 1.102, 0) = 0.547 (= 0.632 x 0.865).

(d) With a copula correlation of 0.5, what is the probability that V1  s 1 and V2  s 1?

Answer: With a copula correlation of 0.5, the joint probability is M (0.337, 1.102, 0.5) = 0.591. (e) With a copula correlation of _0.2, what is the probability that V1  s 1 and V2  s 1?

Answer: With a copula correlation of _0.2, the joint probability is M (0.337, 1.102, _0.2) = 0.531.

2.  Suppose that a bank has made a large number of loans of a certain type. The one-year probability of default on each loan is 1.2%. The bank uses a Gaussian copula for time to default. It is interested in estimating a 99.97% worst case for the percent of loans that default on the portfolio.  Show how this worst case percentage varies with the copula correlation, using copula correlations of 0 .2, 0.4, 0.6, and 0.8.

Answer: The WCDR with a 99.97% confidence level is

Φ / 、 ,

where Φ is the CDF of a standard normal distribution. We compute that Φ _ 1 (0.012) = _2.257 (Excel: =NORM.INV(0.012, 0, 1)) and Φ _ 1 (0.9997) = 3.432. For ρ = 0.2, we find

WCDR = Φ ╱ \ = Φ(_0.807) = 0.210,

which is computed in Excel as =NORM.DIST(_0.807, 0, 1, 1).

The table below gives the WCDR for different values of the copula correlation.