Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit


Fin 500Q –  Quantitative Risk Management

Homework #2 Solutions

1.  Assume gold price risk is diversifiable, and the riskless rate is 5%.  A firm produces a unit of gold a year from today. Assume all interest is compounded annually and is tax deductible. The price of gold is either $500 or $200, each with probability 0.5. Suppose the firm pays taxes at a rate of 40% for all its cash flow in excess of $300. The value of the firm is the expected discounted value of its cash flow less the expected discounted value of bankruptcy costs and taxes that it pays. The firm can hedge by buying/selling forward contracts on gold. Start by assuming that bankruptcy costs are zero.

(a)  Find the value of the unhedged unlevered firm.

Answer:

Value of firm =  . [350 _ 0.5 . 0.4 . (500 _ 300)] = 295.24.

(b)  Find the value of the hedged unlevered firm.

Answer:

Value of firm =  . [350 _ 0.4 . (350 _ 300)] = 314.29.

(c)  Find the value of the unhedged firm if it issues an optimally chosen quantity of safe debt. Answer: The maximum riskless debt that the firm can issue is 200/1.05 = 190.48.

Value of firm =  . [350 _ 0.5 . 0.4 . (500 _ 300 _ 0.05 . 190.48)] = 297.05.

(d)  Find the value of the hedged firm that issues an optimally chosen quantity of safe debt.               Answer: Maximum debt that the firm can issue is such that its cash flow can cover debt repay- ments (principal plus interest) and taxes. Safe debt has a yield of 0.05. Therefore, total payments must satisfy

1.05F + 0.4 . (350 _ 300 _ F . 0.05) s 350,

implying that the highest permissible F = 320.39. Therefore,

Value of firm =  . [350 _ 0.4 . (350 _ 300 _ 0.05 . 320.39)] = 320.39

 

In the remaining parts assume that bankruptcy costs are $20 per unit of gold.

(e) If the firm issues $250 of risky debt, find the yield on the risky debt and the value of the unhedged firm.

Answer: Yield on risky debt satisfies:

250 . (1.05) = 0.5 . (200 _ 20) + 0.5 . 250 . (1 + x).

Therefore, x = 0.38.

Value of firm =  . [350 _ 0.5 . 20 _ 0.5 . 0.4 . (500 _ 300 _ 250 . 0.38)] = 303.81.

(f)  Now suppose that the unhedged firm chooses the face value of risky debt optimally. Find the face value of debt, the yield on the risky debt, and the value of the unhedged firm.

Answer: Let the face value of debt issued be F and the yield on risky debt be x. Then the yield on risky debt must satisfy:

0.5 . F (1 + x) + 0.5 . 180 = F . 1.05.

To make sure the firm can make debt and tax payments when its cash flow is high, we must have

F . (1 + x) + 0.4 . (500 _ 300 _ F . x) s 500.

Because interest is tax deductible, the firm will issue as much debt as possible, so the last inequality will hold as an equality.  Solving the two equations in the two unknowns, x and F , we obtain x = 0.534 and F = 318.07. Now the value of the firm is given by

Value of Firm =  [350 _ 0.5 . 20 _ 0.5 . 0.4 . (500 _ 300 _ 318.07 . 0.534)] = 318.07.

Now suppose that the firm has issued $250 of risky debt and after the realization of the gold price but just before the debt matures, the firm has an investment opportunity (gamble) that costs zero, and with 99.5% probability will provide a loss of $20, and with a 0.5% chance will provide a gain of $1000.

(g) Will the equityholders take this opportunity if the price of gold has (i) increased to $500, or (ii) decreased to $200? You will need to compute the yield on the risky debt assuming answers to (i)

and (ii), and then verify them for this yield. Find the value of the firm with the added possibility of the gamble.

Answer:  The expected value of the gamble is 0.995 . (_20) + 0.005 . 1000 = _14.9, so without debt overhang, rational shareholders would not take it. Let’s assume that if the price of gold rises to 500, it does not take the gamble, and if it falls to 200, it takes it. Then the yield on risky debt must satisfy

250 . 1.05 = 0.5 . 250 . (1 + x) + 0.5 . (0.995 . (200 _ 20 _ 20) + 0.005 . 250 . (1 + x)),

where the left-hand side is the return on safe debt. Solving this equation, we get x = 0.456.

Now if the gold price is 200, and they take the gamble, then the value of the shareholders is Value of Equity = 0.005 . [1200 _ 250 . 1.456 _ 0.4 . (900 _ 250 . 0.456)] = 2.61.

If they did not take the gamble, the shareholders’ value would be zero.  So shareholders would take the gamble.

If the gold price rises to 500, and they do not take the gamble, the value of the shareholders would be

Value of Equity = 500 _ 250 . 1.456 _ 0.4 . (200 _ 250 . 0.456) = 101.6.

If they took the gamble, they would be able to pay back the debt whether they win or lose the gamble. Therefore, their value with the gamble would be 101 .6 _ 14.9 = 86.7, so they would not take the gamble.  The key intuition is simply that in this case, they get both the gains and the losses from the gamble. In contrast, when the price was 200, the shareholders only got the gains from the gamble and the losses were incurred by the debtholders.

The value of the firm is now


Value of Firm =

1

1.05

 

{0.5 . [0.995 . 160 + 0.005 . (1200 _ 0.4 . (900 _ 250 . 0.456))]

+0.5 . (500 _ 0.4 . (200 _ 250 . 0.456))( = 299.63.

Notice that the value of the firm with debt overhang is lower than the same problem without debt overhang in part (e).

(h)  Suppose the firm were to hedge.  Would equityholders take the gamble and what would be the value of the firm?

Answer:  If the firm were to hedge by selling gold in a forward contract, it would get a sure cash flow of $350. Then the equityholders would not take the gamble, because even if the gamble was lost, the firm could still make the debt payment of 250 . 1.05 = 262.5 and tax payment of 0.4(50 _ 250 . 0.05) = 15 (we assume the debt is safe, and therefore has a yield of 0.05, and verify that it can make the payment). Then, the value of the firm would be

Value of the firm =  . (350 _ 0.4(50 _ 250 . 0.05)) = 319.05.