1.  Suppose the CAPM holds. The expected return on the market portfolio is 6% and RF  = 4%. Assume continuous compounding. A company will sell 1 unit of gold a year from today. Assume that the mean price of gold next year is $100, and the standard deviation is $20. Assume that the market β of gold is 0.9.

(a)  Find the value of the firm if it did no hedging.

Answer:

V = E[] . e- (R曰 +β . (E[疝 ] -R曰 )) .

Using this formula, we find that the firm value equals 94.3650.

(b) If the firm went short $β times the value of the firm in (a) of the market portfolio, and invested the proceeds in riskless debt, then what would be the hedged firm’s beta?  What would be its expected return, and what would be the market value of the firm?

Answer: As shown in class, the value of the firm will not change.  The beta of the hedged firm is zero and the expected return on the hedged firm is the riskless rate.

You can use the proof in class, but for those who are interested, here is another way to show it.  I show it for discrete compounding.  For continuous compounding, the same argument holds for a  “short” period of time, ∆t, because in a short period exp(r . ∆t) s 1 + r . ∆t.  Since the relationship must hold for every “instant” it must hold for the entire period.

We can also write the CAPM in realized form (what we wrote in class was in expectations form) i  = RF  + βi . (M  _ RF ) + ei ,

where ei  is a purely firm specific or diversifiable shock to firm i’s return with mean zero and standard deviation σi .  Taking an expectation on both sides of the equation gives you back the CAPM in expectations form. Now consider the hedged portfolio of assets.

V → V . [1 + {RF  + βi . (M  _ RF ) + ei ( . ∆t] _βi . V → _βi . V [1 + {RF  + (M  _ RF )( . ∆t]       +βi . V → βi . V [1 + RF  . ∆t]

(money invested in the firm’s asset value)        (money invested short in the market portfolio) (money invested in bonds)

Now summing the values on the right-hand sides with ∆t = 1, we get the payoff V . [1 + RF + ei] in one year. That is, the portfolio has a mean of V . (1 + RF ), and it has purely diversifiable risk from ei . Because the risk of the hedged portfolio is purely diversifiable, its expected return must be discounted at the riskless rate, therefore giving back the value V today.

(c)  Find the price of a 1-year forward contract on a unit of gold.  Find the value of the firm if it hedged its gold price risk in the forward market.

Answer: By the CAPM, the spot price of gold must be

G0  = E[T ] . e- (R曰 +β . (匝[疝 ] -R曰 ))  = 94.3650.

Therefore, the forward price of gold is F0  = G0 . eR曰 T  = 98.2161. If the firm hedges its gold price risk by selling the forward contract, its cash flow in one year is T  _ ( T  _ F0 ) = F0 .  Since the forward price will be received after a year and is risk free, the value of the hedged firm is F0 e-R曰 T  = 94.3650, which is the same as the spot price of gold and the value of the unhedged firm.

2.  Suppose the market portfolio consists of weights w1  = 0.30 and w2  = 0.70 in two stocks. Assume that E[R1] = 0.1, E[R2] = 0.2, var[R1] = 0.25, and var[R2] = 0.45.  Assume that the correlation between the two stock returns is 0.5.