Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit


ECON5065

Applied Computational Finance

Practice Problems Set 2

 

1. The fundamental idea behind no- arbitrage pricing is to reproduce the payoff of a derivative security by trading in the underlying asset (which we call a stock) and the money market account. In discrete time, we let Xk  denote the value of the hedging portfolio at time k and let ∆k  denote the number

of shares of stock held between times k and k + 1. Then, at time k, after rebalancing (that is, moving from a position of ∆k–1 to a position ∆k  in the stock), the amount in the money market account is Xk – Sk∆k. The value of the portfolio at time k + 1 is

Xk+1 = ∆kSk+1 + (1 + r)(Xk – ∆kSk).                                         (1)

This formula can be rearranged to become

Xk+1– Xk = ∆k(Sk+1– Sk) + r(Xk – ∆kSk).                                    (2)

which says that the gain between time k and time k + 1 is the sum of the capital gain on the stock holdings, ∆k(Sk+1– Sk) , and the interest earnings on the money market account, r(Xk – ∆kSk). The continuous-time analogue of (2) is

dX(t) = ∆(t)dS(t) + r (X(t) – ∆(t)S(t)) dt .                                     (3)

Alternatively, one could define the value of a share of the money market account at time k to be Mk = (1 + r)k ,

and formulate the discrete-time model with two processes, ∆k as before and Γk denoting the number of shares of the money market account held at time k after rebalancing. Then

Xk = ∆kSk + ΓkMk ,                                                        (4)

so that (1) becomes

Xk+1 = ∆kSk+1 + (1 + r)ΓkMk = ∆kSk+1 + ΓkMk+1 .                             (5)

Subtracting (4) from (5), we obtain in place of of (2), the equation

Xk+1– Xk = ∆k(Sk+1– Sk) + Γk(Mk+1– Mk),                                   (6)

which says that the gain between time k and time k + 1 is the sum of the capital gain on stock holdings, ∆k(Sk+1– Sk) , and the earnings from the money market investment, Γk(Mk+1– Mk).   But ∆k  and Γk  cannot be chosen arbitrarily. The agent arrives at time k + 1 with some portfolio of ∆k shares of stock and Γk shares of the money market account and then rebalances. In terms of ∆k  and Γk, the value of the portfolio upon arrival at time k + 1 is given by (5). After rebalancing, it is

Xk+1 = ∆k+1Sk+1 + Γk+1Mk+1 .

Setting these two values equal, we obtain the discrete-time self-financing condition

Sk+1 (∆k+1 – ∆k) + Mk+1 (Γk+1 – Γk) = 0.                                      (7)

The first term is the cost of rebalancing in the stock, and the second is the cost of rebalancing in the money market account. If the sum of these two terms is not zero, then money must either be

put into the position or can be taken out as a by-product of rebalancing.  The point is that when

the two processes ∆k and Γk are used to describe the evolution of the portfolio value Xk, then two equations (6) and (7), are required rather than the single equation (2) when only the process ∆k is used.

Finally, we note that we may rewrite the discrete-time self-financing condition (7) as

Sk(∆k+1 – ∆k) + (Sk+1– Sk)(∆k+1 – ∆k) + Mk(Γk+1 – Γk) + (Mk+1– Mk)(Γk+1 – Γk) = 0. This is suggestive of the continuous-time self-financing condition

S(t)d∆(t) + dS(t)d∆(t) + M(t)dΓ(t) + dM(t) + dΓ(t) = 0,                          (8)

which we derive below.

In continuous time, let M(t) = ert  be the price of a share of the money market account at time t , let ∆(t) denote the number of shares of stock held at time t, and let Γ(t) denote the number of shares of the money market account held at time t, so that the total portfolio value at time t is

X(t) = ∆(t)S(t) + Γ(t)M(t).                                                 (9)

Using (9) and (3), derive the continuous-time self-financing condition (8).