Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit


MATH 235 W22 - A4

 

Question 1

For i = 1, 2, 3, 4, determine whether the function Fi  is a linear transformation or not. If the function Fi  is a linear transformation, then prove it.

If the function Fi  is a not a linear transformation, then prove that it is not.

(a) F1  : P1 (R) → P1 (R), F1 (p(x)) = p(0) + p(1)x

(b) F2  : P1 (R) → P1 (R), F2 (p(x)) = p(0)p(1)x

(c) F3  : P2 (R) → P2 (R), F3 (p(x)) = p(0) + ╱  │x=–3 x + ╱  │x=5x2

(d) F4  : P1 (R) → M22 (R), F4 (p(x)) =  ╱  p(2) + p( −2)          p( −2)       

  (p(2))(p( −2))   p(2) − p( −2) 


Question 2

Let T : C → V be a linear transformation from C to the vector space V .         Let c ∈ C, with c  0, satisfy T (c) = v, for some v ∈ V. What is T (x), x ∈ C?


Question 3

Let T : V → W be a linear transformation where V and W are two vector spaces. Suppose that {v1 , v2 , v3 } is a linearly dependent subset of V .

Show that {T (v1 ), T (v2 ), T (v3 )} is a linearly dependent subset of W .

 

Question 4

Let V, W, and X be vector spaces. Let T1  : V → W and T2  : W → X be linear  transformations. Prove that the composite function T2 ◦ T1  : V → X, defined by (T2 ◦ T1 )(v) = T2 (T1 (v)), ∀v ∈ V, is a linear transformation.


Question 5

Let A, B ∈ Mn n (F). Show that if A is similar to B, then rank(A) = rank(B), that is, prove that similar matrices have the same rank.

(Hint: show that A and B have the same nullity by relating their nullspaces, or make use of linear transformations.)


Question 6

Let T : V → W be a linear transformation where V and W are two vector spaces. Let U be a vector subspace of V.

Let the restriction of T to U, denoted by T |U  : U → W, be the function defined by

T |U (u) = T (u), ∀u ∈ U.

Show that T |U  is a linear transformation.