Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 235 W22 - A3

Question 1

(A) Let V = ,╱ 、b(a)  : a, b e f、 with addition e defined by  ╱ 、b(a) e ╱ 、d(c)  = 、,

and let c = è with multiplication o defined by α o ╱ 、d(c)  = ╱α(α)d(c)、, where αc is the

product of the complex number α and the real number c.

Show that (V, e, c, o) is not a vector space.

(B) Let V = ,╱ 、b(a)  : a, b e è、 with addition e defined by  ╱ 、b(a) e ╱ 、d(c)  = 、,

and let F = f with multiplication o defined by α o ╱ 、d(c)  = ╱α(α)d(c)、, where αc is the

product of the real number α and the complex number c.

(i) Show that (V, e, c, o) is a vector space.

(ii) Show that ,╱ 、1(1) , ╱ 、、i(i) is linearly independent in this vector space.

(iii) Find a basis for this vector space, and thus state the dimension of (V, e, F, o).

Question 2

Consider the vector space V = C时 (f).

Find a basis BWi   for the following subspaces Wi  of V using vectors in the subspace Wi , for i = 1, 2, 3.

(a) W1  = Span({1, x, x2 l).

(b) W2  = Span( ,cos(2x), sin2 (x), cos2 (x)、).

(c) W3  = Span({1, x, cos(x), cos(2x)l).