Problem 1.      Let {xn } be a sequence in R such that there is θ e [0, 1) with

lxn+1 - xn l < θn

for all n e N. Show that {xn } is a fundamental sequence and therefore converges.

Solution.      We know that for every n e N,

n

sn  =       θ k  =

k=0

We also proved in class that lθln  → 0 (for lθl < 1).

lim sn  =

1 - θn+1

1 - θ   .

Since lθn l = lθln , we have θn  → 0, therefore

1

1 - θ .

Now fix an arbitrary ε > 0.  Since {sn } is convergent, it is a fundamental sequence (by a theorem in the class).  By the definition there exists a natural number Nε   e N such that for all n, m 2 Nε  we have lsn - sm l < ε. Let n, m 2 Nε  and suppose without loss of generality that n > m.

Then

_    n                                     _         n                                                  n

lxn - xm l = _         (xk  - xk -1 ) _ <          lxk  - xk -1 l <          θ k  = sn - sm  < ε.

_k=m+1                            _     k=m+1                                   k=m+1

This proves that {xn } is fundamental (hence, by a theorem in the class, it is convergent).       口

Problem 2.  a.    Let {xn } and {yn } be two convergent sequences in R.  Assume that there exists N e N such that for every n 2 N one has xn  < yn . Show that

lim xn  < lim yn .

b.  Show that there exists two convergent sequences {xn } and {yn } in R such that for every n 2 1 one has xn  < yn  but

lim xn  2 lim yn .

Solution.  a.     We argue by contradiction.  Denote x = limn二o xn , y = limn二o yn , and assume that x > y. Choose ε = (x - y)/2 > 0.

As limn二o xn  = x, there is N1  e N, such that for all n 2 N1

lxn - xl < ε  年÷  x - ε < xn  < x + ε,

in particular, x < xn + ε .

As limn二o yn  = y, there is N2  e N, such that for all n 2 N2

lyn - yl < ε  年÷  y - ε < yn  < y + ε

in particular, yn - ε < y .