Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit


STATS 100B Homework 4

2022

 

In all the problems, we define

n

n  = n !Xi ,

n

S = n − 1 !(Xi − n)2 .

 

Problem 1 (20 pts)

Let X1 , X2 , . . . , X16  be i.i.d. from N(50, 102). Find

a. Find the distribution of  "1 (Xi − 50)2 . (10 pts)

b. Find the distribution of  "1 (Xi − 16)2 . (10 pts)

Problem 2 (10 pts)

Let n  and S denote the sample mean and sample variance of an independent random sample of size n from N(0, σ2). Find the distribution of  .

 

Problem 3 (10 pts)

Let X1 , . . . , Xn  be i.i.d.  from N(µ1 , 1) and Y1 , . . . , Ym  be i.i.d.  from N(µ2 , 1).  Xi’s and Yi’s are independent. Find the distribution of W = "1 (Xi − n)2 + "1 (Yi − m)2 .

Problem 4 (20 pts)

Let X1 , . . . , X18 be i.i.d. from N(µ1 , 7σ2), and Y1 , . . . , Y23 be i.i.d. from N(µ2 , 3σ2). Xi’s and Yi’s are independent. S =  "1 (Xi − 18)2  and S =  "1 (Yi − 23)2 . For what value of c does the expression c have the F17,22  distribution?

 

Problem 5 (20 pts)

Let X1 , . . . , Xn  be i.i.d. from N(0, σ2). n  =  "1 Xi , and S =  "1 (Xi − n)2 .

a. Find c such that c S  has the F distribution. (10 pts)

b. What are the numerator and denominator degrees of freedom of the F distribution? (10 pts)


Problem 6 (10 pts)

Please prove the following statement.

If X ∼ Fm,n , then  ∼ Fn,m . (10 pts)

 

Problem 7 (10 pts)

If T follows a t7  distribution, find t0  such that (a) P(|T| < t0) = 0.9 and (b) P(T > t0) = 0.05.