Question 1 (11 marks)

In this question you must state if you use any standard limits, continuity, l’Hˆopital’s rule or the sandwich theorem. You do not need to justify using limit laws.

(a) Evaluate the following limit

lim╱x2 cosech x、,

if it exists.

(b)  Consider the real-valued function f defined by

f (x) = 

For which value(s) of c e R is f continuous at x = 1? Justify your answer.

Question 2 (13 marks)

In this question you must state if you use any standard limits,  continuity,  l’Hˆopital’s rule, sandwich theorem or convergence tests for series. You do not need to justify using limit laws.

(a)  Consider the sequence with terms

an =  cos ╱ 、 ,        n = 1, 2, 3, . . . .

Determine the limit of the sequence, if it exists.

(b)    (i)  State the divergence test.

(ii)  Decide whether the divergence test can be used to determine if the following series

converge or diverge. Justify your answers.

o   8n

1.   n!

2.  ┌ ╱  、  + ╱ 1 · 、n ┐

(c)  Determine whether the series

converges or diverges. Justify your answer.

Question 3 (11 marks)

(a)  Consider the real-valued function f given by

f (x) = 2 arcsinh (x · 1),

x e R.

Sketch the graph of f (x).

(b)  Show that

cosh(arcsinh x) =.1 + x2 .

(c) Using an appropriate substitution, evaluate

1  dx,      x  0.

Question 4 (7 marks)

(a) Use the complex exponential to prove the double angle formula

cos(2x) = cos2 x · sin2 x.

(b) Use the complex exponential to evaluate the indefinite integral

1 e4t sin(4t) dt.

Question 5 (9 marks)

Consider the following differential equation

x  + y = x y54 cos(3x),   x  0,   y  0.

(a)  Make the substitution z = y_3  and show that equation (1) reduces to

dz       3

dx     x

(1)

(2)

(b)  Solve equation (2) for z(x).  Hence determine the general solution of equation (1) in the

form y = f (x).

Question 6 (9 marks)

Let

= y  (y2 · 1), dx

x > 0.

(a)  Determine the equilibrium solution(s).

dy

dx

(c)  Draw a rough sketch of y versus x if

(i) y(0) =   (ii) y(0) =   (iii) y(0) = · 1

(d)  Classify the stability of the equilibrium solution(s).

Question 7 (7 marks)

The growth of a tumour in a mouse can be modelled using the modified logistic equation developed by Benjamin Gompertz,

dw

where w is the weight of the tumour in milligrams and t is the time in days since the tumour was detected. Assume that the tumour weighs one milligram when it is detected.

(a)  Determine the weight of the tumour at any time.

(b) What happens to the weight of the tumour in the long term?

Question 8 (10 marks)

Consider the second order differential equation

yoo · 9y = cosh(3x).

(a)  Determine the homogeneous solution yh(x).

(b)  Show that your solution to part (a) can be written in the form

yh(x) = α cosh(3x) + β sinh(3x)

where α, β e R.

(c)  Determine a particular solution yp(x).

(d)  Determine the general solution y(x).

Question 9 (17 marks)

Consider an electric circuit consisting of a resistor (R = 10 Ohm), an inductor (L = 0.5 Henry), a capacitor (C = 0.01 Farad), and a voltage source as shown in Figure 1. The applied external voltage is 12 Volt, and t is the elapsed time in seconds.  Initially, the charge q(t) Coulomb on the capacitor and the current i(t) Amp in the circuit are zero.

R

V

C

Figure 1: The electric circuit under consideration.

(a) Using Kirchhoff’s voltage law, show that the differential equation governing the charge on

the capacitor is

q¨+ 20q˙ + 200q = 24.

(b)  Determine the charge on the capacitor at any time.

(c) Identify the transient and steady state parts of the solution for the charge.

(d)  Briefly describe the behaviour of the charge as time increases.

(e) Assuming the absence of an external voltage and an initial current of 1 Amp, but otherwise

identical parameters, which of the following terms can be used to characterise the circuit: harmonic motion, underdamped, critically damped, overdamped? Explain your choice.

Question 10 (18 marks)

Consider the function

f(x, y) = 

and surface z = f(x, y).

(a)  Determine the equations of the level curves for the surface when z =  , 1, 4. Sketch these

three level curves in the xy plane.

(b)  Determine the equations of the cross-sectional curves for the surface in the xz plane and

in the yz plane. Sketch these two cross-sectional curves.

(c)  Sketch the surface.

(d) What is the maximal domain and range of f? (e)  Determine Vf at (1, 1).

(f)  Determine the derivative of f at (1, 1) in the direction of the vector from (1, 1) to (2, · 1).