We may draw several conclusions from (3):

1.   The radiated power goes as the square ofthe charge: A cluster of n charges local- ized within a volume of dimensions less than λ radiates n2 times as much power    as a single charge.

2.   The radiated power is proportional to the square of the acceleration. By Newton’s second law, for a given driving force, the acceleration is inversely proportional to the mass. For this reason, for a given driving force, electrons radiate more power  than protons in the ratio (mp / me )2 ~3.4x106, so that we can usually neglect the     acceleration of particles other than electrons.

3.   The radiation is polarized along the direction parallel to the acceleration of the particle.

Synchrotron radiation is the name given to the electromagnetic radiation given off by   electrons moving in a constant magnetic field. In general, the trajectory will be a helix, with radius determined by equating the required centripetal force to the Lorentz force:

F = ma

2

⇒ ev⊥B = m v⊥ ,                                                      (5)

r

⇒ v⊥ = ω = eB r m

A particle moving with speed v⊥ in a circle of radius r rotates with angular frequen-          cyω = v⊥ / r . Thus, from (5), we obtainω = eB / m . This frequency was named the cyclo- tronfrequency by Earnest O. Lawrence, who noticed that electrons in a constant magnet- ic field traveled in circles with a revolution frequency that was independent ofthe radius  or the velocity ofthe particle.

In the x,y plane perpendicular to the magnetic field, the particle executes simple harmonic motion in the x andy directions, with acceleration amplitude a = ω2r , which can be in-      serted directly into (3) to obtain the total radiated power.

By detecting the radio emissions from free electrons moving in a magnetic field with an antenna sensitive to the polarization of the radio waves, one can infer a great deal about the galactic magnetic fields.

Atomic and molecular radiation. In the galactic medium, atoms and molecules may be   excited from their ground state by collisions with other atoms or molecules, or by excita-  tion by the ambient electromagnetic radiation. These atoms or molecules will then relax    to lower energy states, spontaneously emitting electromagnetic radiation with frequency    given by hf = ω = ∆E , where ∆E is the energy difference between the two states. For     atoms, such as atomic hydrogen, ∆E typically corresponds to electromagnetic radiation in the infrared, visible, and ultraviolet parts ofthe spectrum. There are two conspicuous ex-   ceptions to this: transitions between closely spaced levels of highly excited atoms, and

transitions between hyperfine levels. The latter refers to the relative orientation of an electron’s spin with the nuclear spin. We will be studying this process in great detail.

For molecules, one may have transitions between vibrational levels (typically in the infra- red) and transitions between rotational levels (typically in the far-infrared). Light from      these transitions tells us a great deal about the rich interstellar chemistry.

Pulsars. First discovered by Jocelyn Bell in 1967, pulsars are now thought to be rapidly spinning clumps ofneutrons. Ifthe spin axis is not parallel with the intrinsic magnetic    field of the neutron star, the result will be radio waves of a frequency given by the pul-   sar’s rotational frequency.

Cosmic microwave background radiation. In 1966, Arno Penzias and Robert Wilson    discovered that we are immersed in electromagnetic radiation that has a spectrum indis-   tinguishable from the radiation of a black body oftemperature 2.726 K. Soon after the      discovery, astronomers agreed that this was the relic of the radiation from the Big Bang,   some 12.8 billion years ago. In the early 1990’s measurable “ripples” in intensity were     discovered, of order 10-4 times the average intensity. More recently, the fluctuations in     polarization have also been measured. These combined measurements have given astron- omers an independent way of measuring key cosmological constants.

§2. DEFINITIONS OF SIGNAL STRENGTH

1 Jansky (Jy)  = 10−26  W Hz− 1  m−2                                                                     (6)

Apart from solar radio bursts, the most intense radio sources have flux densities of order 104 Jy.

Diffuse sources: brightness distribution B(f,n).4 Many radio (and optical) sources have a measurable angular extent. In such cases, we can no longer regard the incident radiation as a plane wave, but rather as a wave distributed in angle. B(f,n)dfdAdΩ is the power (in    Watts) of the electromagnetic radiation, within a bandpass df, passing through an area dA, and within a solid angle of dΩ, in the direction n. The units are Watts/Hz/m2/sr. In the       section on antennas we will see how to use the brightness distribution to account for the    finite angular resolution ofthe radio telescope.

§3. RADIO ANTENNAS

3 Examples of compact sources include pulsars and quasars.

4 Examples of diffuse sources include synchrotron radiation, atomic and molecular clouds in the Milky Way, and of course the cosmic microwave background radiation.

The goal ofthe radio antenna is to capture electromagnetic radiation from an astrophysi-  cal source and to force it to propagate within a transmission line (cable or waveguide), to the appropriate electronics. There are five styles of antennas most commonly used for      radio astronomy, shown in the figures below:

1.   Hertzian dipole

2.   Quarter-wave dipole

3.   Helix

4.   Horn

5.   Paraboloid reflector plus feed horn

Figure 1. The double-ended dipole. If l << λ it is known as a Hertzian dipole. If l = λ/4 it

is known as a quarter wave dipole.

Figure 2. The single-ended dipole. If l << λ it is known as a Hertzian dipole. If l = λ/4 it is known as a quarter wave dipole.

Figure 3. The helical antenna.

Figure 4. The horn antenna.

Figure 5. The parabloloid antenna plus feedhorn.

Directivity Gain. The sensitivity of a receiving antenna to an incoming plane wave is      highly directional. To quantify this directionality, we define a dimensionless directivity gain Gλ(θ,φ) , which is a measure of the sensitivity of the antenna when pointed at an an- gle (θ,φ)away from the direction of an incoming plane wave, relative to a fictitious an-    tenna with isotropic sensitivity. By definition,

∫G(θ,φ)dΩ =1                                                    (7)

Compact Sources: S(f). Ifthe incoming plane wave arises from a distant, compact      source at angle (θ,φ) , with flux density S(f), the power delivered to the amplifier input stage per unit bandwidth (in Watts/Hz) isdP(θ,φ) / df :

= βGλ(θ,φ)S(f )                                           (8)

Whereβ is absorption coefficient of the input stage of the amplifier (see §4 below).

In consequence, if we point our antenna directly at the distant, compact source, the power delivered to the amplifier will be

dP(0, 0) = βλ2 Gλ(0, 0)S(f )                                           (9)

The factor of β in equations (8) and (9) arises from the fact that only a fraction ofthe in-   cident power, β, is transmitted to the amplifier; the fraction (1 − β) is reflected back into   space.5 (see §4, below). If the load is short-circuited, or ifthe load is open circuited, all of the incident power will be reflected, resulting in β =0. It can be shown from detailed cal-   culations, or from thermodynamic arguments, that β cannot exceed 0.5.

It is useful to define a direction-dependent effective area as

5 Kraus, Antenna Theory.

Aeff (θ,φ) ≡ Gλ(θ,φ)                                              (10)

With this definition, the power delivered per unit bandwidth (in Watts/Hz) from a com- pact source is given by

= βAeff (θ,φ)S(f )                                           (11)

As a concrete example, the iconic parabolic dish antenna has an on-axis effective area       approximately equal to the area of the dish, provided that the diameter of the dish is much larger than the wavelength. We therefore have, for a parabolic antenna of radius a pointed directly at the compact source,

= βAeff (0, 0)S(f ) = β(πa2 )S(f ) (paraboloid, compact source)        (12)

Equation (12) states a seemingly obvious result: that a parabolic dish antenna captures β times the radiation incident upon the area defined by the dish. Things are not nearly so     trivial, however, for antennas lacking a natural area parameter, such as the common Yagi television antenna, the Hertz dipole, the quarter-wave dipole, or the helical antenna, to     name a few.

Diffuse Sources: B(f, n). Let us suppose that our antenna has an angular sensitivity         which is sharply confined to angles over which the radio brightness B(f, n) is effectively  constant (This is approximately the case for our experiment). The recorded power into a  load will then be an integral over the antenna sensitive solid angle, yielding the remarka- bly simple result:

= ∫ dP,φ)dΩ = ∫βGλ(θ,φ)B(f , )dΩ = βλ2B(f , )              (13)

where we have used (7), and assumed that B was constant over the antenna’s angular sen- sitivity. Note that the total power captured by the antenna is entirely independent ofthe     details of the antenna, provided that the brightness is constant over the sensitive angular    range ofthe antenna. In comparing two similar antennas but one much larger than the       other, although a larger antenna intercepts a larger physical area of the beam, it intercepts a smaller solid angle, and the two effects exactly cancel.

Paraboloid. For an antenna capturing all ofthe energy from a circular aperture, as with a  paraboloid of radius a, we then see from equation (10) that the on-axis directivity gain for a parabolic dish is given by

Gλ(0, 0) = Aeff (0, 0) = (paraboloid)                             (14)

Off-axis, the directivity gain depends only upon the polar (tilt) angle θ . For this reason it is convenient to define a parameter u(θ) = (2πa / λ) sinθ . The directivity gain is sharply peaked in the forward direction; it is given in terms ofthe first-order Bessel function J1(u) as follows:6 (We write the equation this way because J1(u) ≅ u / 2 for u 1 .)

Gλ(θ,φ) = Gλ(0, 0) 2     (paraboloid)                               (15)

We can estimate the sensitivity range of a paraboloidal antenna, by calculating the half-    power angle of equation (15), when 4J(u) / u2  = 1/ 2 , which occurs when u = 1.617. For our antenna, λ = 0.21 m and a = 0.9 m, so Gλ(0) = 725, and θFWHM = 6.89 degrees. This     gives us an idea ofthe diffraction-limited angular resolution of our antenna at 21 cm.

To finish the discussion of the paraboloidal antenna, we need to discuss how we capture    the reflected radiation, which is focused to a point at the geometric focus ofthe parabo-     loid. The capturing is done with a secondary antenna, known in the trade as thefeed horn. In our case, it is a conducting tube, blanked off at the back end, and fitted with a cable       connector that has a wire projecting into the cylinder. The projecting wire is an antenna in its own right, ofthe style known as a quarter-wave dipole because the wire has length λ/4  = 2.07 inches.

Since the incoming radiation can be decomposed into two orthogonal polarizations, and    since in general a single coherent antenna is only sensitive to one polarization, 50% ofthe incoming power is automatically lost.

Finally, there are various points where signal can be lost: mis-matched impedances, non- ideal matching of the paraboloid with the feed horn, reflections at cable connectors, loss- es in the cable, etc. For precision intensity measurements it is necessary to calibrate the    system with sources of known intensity.

§4. THE CONCEPT OF IMPEDANCE AND IMPEDANCE MATCHING

We digress briefly from the physical hardware to a discussion ofthe concept of imped-   ance and impedance matching, which is crucial to the success of our project. I guarantee that there will be at least two question on the GRE’s that make use ofthese concepts.

Imagine we have a two-terminal electronic object (resistor, capacitor, inductor, cable, an- tenna connector, etc.). If an AC voltage is impressed across the terminals, an AC current  will flow into and out of the terminals at the same frequency, ifthe device is a linear de-   vice (governed by linear differential equations). The current may lead, lag, or be in phase with the applied voltage. To quantify these concepts, we suppose that the applied voltage v(t) and the responding current i(t) are represented by the complex constants V and I:

6 Max Born and Emil Wolf, Principles of Optics.

v(t) = Re[V(ω) exp(iωt)]

i(t) = Re[I(ω) exp(iωt)]

It can be shown that if the system is linear, we may introduce a complex impedance Z that relates V and I:

Z(ω) = V(ω) (17)

Here are some examples ofimpedances of household items:

Resistance R: Z = R

iωC

Inductance L : Z = iωL

Free space: Z = ≡ Z0  = 377 Ohms                                                                        (18)

Infinite Coaxial cable: Z = 1 ln(R>  / R<) = 60.0 ln(R>  / R<) ≈ 50 − 75 Ohm

Quarter wave dipole antenna: Z = 76 Ohm

For the latter two cases, the current i(t) is proportional to the applied voltage v(t), so pow- er can be delivered to the object at an instantaneous rate v(t) i(t). in the case of the infi-    nite coaxial cable, the power propagates as a wave along the cable; in the case ofthe an-   tenna, power is transmitted to free space. In neither case is the power necessarily dissi-     pated as heat, as it would be in a resistor.

It is also very useful to know that the impedances oftwo circuit elements connected in   series is just the sum of the two impedances; and that the impedances oftwo circuit ele- ments connected in parallel combine as reciprocals, just as with resistors.

Impedance matching: When interconnecting various sources and components in any       electronics system, it is very important that impedances match. This ensures that the max- imum power is transmitted from source to destination, and that reflections are minimized.

An ideal ac voltage source is a two-terminal device that maintains its output voltage, no   matter how challenging the load. A close approximation to an ideal voltage source would be a wall outlet, that maintains an output voltage of 110 volts (rms) with just about any    load.

An actual ac voltage source can always be represented as an ideal voltage source, in se- ries with an impedance Z, which may be complex.

If we wish to connect an actual voltage source to a load, and transfer as much power to     the load as we can, it turns out that the impedance of the load should be just the complex   conjugate of the source impedance; that is, ZL = Z . (You should prove this to your satis- faction. For practice, start with real impedances).

We can now apply these concepts to our radio telescope. As noted above, the dipole an-    tenna in the feed horn has an impedance of 75 Ohms, so we should connect it to a load of  75 Ohms. As it turns out, we connect it directly to a preamplifier with an input impedance of 50 Ohms, so we don’t get a perfect match. Fortunately, we only lose about 4% relative  to the optimum value.

§5. ELECTROMAGNETIC TRANSPORT: CABLES AND WAVEGUIDES

The electromagnetic radiation received by the antenna and amplified by a low noise am- plifier (LNA) must now be transported, with as little loss and distortion, to downstream  electronics. In this course we will stick to cables, although in some special applications,  waveguides are used.

As noted above, the characteristic impedance of a coaxial cable only depends upon the      dielectric permeability of the insulation and the inner and outer radii ofthe conductors.     By far the most common cables have a characteristic impedance of about 50 Ohms, so it   is important that the output impedance ofthe preamplifier, as well as the input impedance of the spectrometer, have 50 Ohm impedance, which in our case they do.

§6. SPECTROMETER

A practical spectrometer can be thought of as a radio receiver whose frequency is auto-    matically swept from some start frequencyf1 to some stop frequencyf2 , in a total time T. The frequency range is divided into n bins, each of width ∆f = (f2 − f1)/ n .The spec-       trometer measures the power within a settable bandwidth called the Resolution Band- width. One ordinarily sets the resolution bandwidth to be equal to ∆f , the bin width. The  spectrometer “dwells” at each frequency with a dwell time ∆t = T / n .

A simple model for a spectrometer is the series LCR circuit, where the output is the pow- er delivered to the resistance R, and where the capacitance or inductance is swept. Ifthe   circuit is driven by a voltage source of amplitude V0 at fixed angular frequency ω, then it  is straightforward to show that the power delivered to the resistor is given by the classic

Lorentzian curve

< P >= 0 2                                          2                                                                       (19)

If we define the resonant frequency by = 1/ LC , the total impedance ofthe inductor    and capacitor taken together at resonance is zero, and so P = V02 / 2R at resonance. If we    assume that the Lorentzian is narrow (a very good approximation for spectrometers), it is easy to show that the full width at halfmaximum ofthe curve is ∆ωFWHM = R/L. Thus,      such a simple “spectrometer” has a Resolution Bandwidth of approximately R/L. The ex- act RBW can be evaluated by determining the second moment of eq. (19).