1. A professor gives students a pop quiz with 5 true or false questions. Eighty percent of the students are well-prepared for the pop quiz, but twenty percent are not. Students who are prepared have a 85% chance of answering each question correctly, but the students who are unprepared simply randomly guess and have a 50% chance.  Find the probability that a student was well-prepared under the following scenarios:

(a) Answered 2 correctly

(b) Answered 3 correctly

2. A fair coin is flipped 20 times. Your friend proposes a bet where if it lands on heads exactly 10 times, you win $4, but if it lands on heads 11 or more times or 9 or less times, you lose $1. Should you take the bet? In other words, find the expected value of the bet and if it is positive you should take it.

3.  Two candidates face each other in an election.  The Democratic candidate is sup- ported by 46% of the population,  and the Republican candidate is supported by 54%. In other words, if you randomly chose a voter and asked them who they plan to vote for, there would be a 46% chance they would say they support the Democratic candidate. Suppose you run a poll of 8 people (randomly choose 8 people). What is the probability that less than half of them (3 or fewer) would support the Republican candidate?

4. You flip a coin 3 times. Each time the coin lands on heads, you roll a die and record the result.  If it lands on tails you don’t roll the die and you don’t record a result. In other words, if your coin lands on heads three times, then you would roll the die 3 times.  If the coin lands on heads once, then you would only roll the die once.  If the roll(s) of the dice (or die if it was only one) add up to the number four. Find the following:

(a)  Probability that the coin landed on heads once

(b)  Probability that the coin landed on heads twice

(c)  Probability that the coin landed on heads three times

(d) Expected value of the number of times the coin landed on heads.

5. Let X be a random variable such that

E[X2] − E[X]2 = 12

Find

(a)  Var(X)

(b)  E[(cX)2] − E[cX]2

(c)  Var(cX)

R Exercises

1.  The code provided below uses a for loop to simulate conducting 10,000 polls of 8 peo- ple in which each person has 58% probability of being a supporter of the Democratic candidate and a 42% probability of being a supporter of the Republican.  The way the loop works is it runs through the code inside the loop 10,000 times, but changing the value of i with each iteration (i is 1 in the first iteration, 10,000 in the last).

#  Define  a  vector  of  integers  that  has  10,000  elements.

poll_sims  =  vector(length  =  10000, mode  =  "integer")

#  for  loop  to  simulate  10,000  polls

for  (i  in  1:10000)  {

#  Do  a  poll  of  8  people  in  which  each  person  has  a  58%  chance  of  supporting  the #  Democratic  candidate  and  42%  chance  of  supporting  the  Republican.

poll  =  sample(c("Democrat",  "Republican"),  size  =  8,  replace  =  T,  prob  =  c(.58,  .42) #  Count  the  number  of  people  who  support  the  Democrat  and  store  the  result  in  the      #  poll_sims  vector  as  the  ith  result.

poll_sims[i]  =  sum(poll  ==  "Democrat")

}

#  Visualise  the  poll_sims  vector  using  basic  R

plot(factor(poll_sims))

#  Visualise  the  poll_sims  vector  using  tidyverse

library(tidyverse)

qplot(factor(poll_sims))  +  geom_bar()

(a)  Modify the code above to run simulations of the situation from problem  (5) above (where 46% support the Democrat and 54% the Republican).  Find the fraction of the simulations in which less than half the people (3 or fewer) support

the Republican candidate. Compare this result to your answer in Question 5 of the previous section.

(b)  Change the code to simulate 10,000 polls of 100 people (rather than 10,000 polls of 8). Find the fraction of simulations in which less than half the people support the Democratic candidate. In other words, use the simulations to approximate

the likelihood that a poll of 100 people will incorrectly guess the winner of the election.

(c)  Graph the simulations so you can visualize the distribution.

2. In question (4) the question described a process of flipping a coin three times, rolling dice for time it lands on heads and adding up the results of the die rolls. Below is the