Problem 1:  [exam id #762] [20 points] Consider an individual with preferences defined over two goods, X1  and X2 . This individual has preferences that can be represented by the following utility function:

u(X1 , X2 ) = X1 + X2(0) .5

Let P1  = 4 and P2  = 2. In addition, suppose this individual has an income of ✩120.

(a) [5 points] Write down the expression for this consumer’s marginal rate of substi- tution of X1  for X2  (MRS12 ). Identify the distinguishing feature of this particular MRS12 .

(b) [5 points] Calculate the optimal basket of X1  and X2  and fully illustrate this optimal choice in a diagram with X1  on the horizontal axis.

(c) [5 points] Suppose the government introduces a ✩2 tax on the consumption of each unit of X2  but X1  remains tax-free.  Calculate the new optimal basket of X1 and X2 . Illustrate this new optimal choice in your diagram above.

(d) [5 points] Calculate the amount of monetary transfer needed to return this con- sumer to her original utility level.

Problem 2: [exam id #762] [20 points] Consider a firm that uses capital (K) and labour (L) to produce output (q) according to the following long-run production function:

q = ,L +,K

(a)  [5 points] Use the tangency condition to derive an expression for this firm’s expansion path.

(b) [5 points] Let the price of each unit of labour be w and the (rental) price for each unit of capital be r = 1. Determine the cost-minimizing labour input and the cost-minimizing capital input for an output of q0 .  (Hint: you should not assume a particular value for w)

(c) [5 points] Find this firm’s long-run total cost function.

(d) [5 points] Suppose instead that this firm’s long-run production function is

q = min 1 L, K 、

Assume that wages and rental rates are w and 1 respectively. Derive the long-run total cost function for an output of q0  in this case.

Problem  3:  [exam id #762]  [15 points] Consider a firm that is a monopolist in the market for good X. The demand for X is

Q = 200 - 2P

where P is the price of X and Q is the total quantity demanded. The monopolist’s total cost function is

C = Q2 + 10Q

where C represents total costs.

(a) [5 points] What is the monopolist’s profit maximizing output? What is the price at this output? Fully illustrate this optimal output and price in an appropriate di- agram.

(b) [5 points] What output and price maximizes the sum of consumer surplus and producer surplus? Explain your answer. Add this output and price to your diagram in part (a).

(c) [5 points] Suppose that the monopolist is able to charge the price in (a) rather than the price in (b). What is the resulting difference in consumer surplus, producer surplus, and total welfare?

Problem 4:  [exam id #762] [25 points] Consider a risk-averse individual with an initial wealth of 100 and a utility function of the form

u(W) = W0.5

where W represents the payoff from a particular outcome.  Suppose that this individual faces a loss of L with probability 0.5. To reduce her risk, she would like to purchase an insurance policy that gives her a payment of B if she suffers the loss.  Suppose that the cost of the policy is equal to the the premium, M .

(a) [5 points] Assuming that the insurance policy is actuarially fair, what is the premium that insurance companies will charge?

(b) [5 points] Use all of the information above to write down an expression for this individual’s expected utility with the actuarially fair insurance.

(c) [5 points] Let the individual’s objective be to choose the optimal insurance pay- ment, B. What is the optimal B?

(d) [5 points] Suppose that for each dollar of benefit paid out, an insurance com- pany incurs an additional fraction λ > 0 as an administrative cost. The insurance company passes this cost on to the buyer by reducing the benefit paid by a fraction λ. What is the individual’s optimal B in this case?  How does it compare to your answer in part (c)? You can assume that the the insurance industry is competitive and the premium will be actuarially fair.

(e) [5 points] Now let L = 40. Will this individual prefer having an insurance policy where λ is greater than zero to not having insurance at all? Explain.

Problem 5:  [exam id #762] [10 points] Consider an industry with only two firms. The industry demand curve is given by:

P = 100 - 2QT

where QT  is the total industry output and is the sum of both firm’s output of Q1  and Q2 respectively. Suppose that both firms have a constant marginal cost of ✩0. Suppose also that there are no fixed costs of production.

(a) [5 points] Let the firms engage in Cournot strategic competition.  What is the Cournot equilibrium price?

(b) [5 points] Now suppose that there are n > 2 firms in the industry that all have constant marginal costs of ✩0.  Assume that the demand curve is as stated above and no firm faces any fixed costs. Further assume that all n firms engage in Cournot strategic competition.  What is the Cournot equilibrium price now?  What is the difference between this price and the perfectly competitive market price when n is large?