ECON5065 Applied Computational Finance

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit


Applied Computational Finance, ECON5065


Section A

You must answer 1 question from this section (the weighting is noted against the sub ques- tion). If there is not enough space on a white sheet, please raise your hand to request a        YELLOW answer sheet in order to continue your answer.

 

1. A pay-later option is one which pays out like a regular call option but charges a predetermined fee P at the maturity rather than at the signing date, and this fee is only paid if the stock price exceeds the strike K at maturity T.  This implies that the owner of the option pays nothing at the signing date, and must only pay the fee P if the option is in the money at maturity T. Further suppose that binary options are liquidly traded in the market.  A binary option pays out 1 if the stock price is greater than or equal to the strike K at maturity T, and 0 otherwise.

Assume the interest rate is a constant value r ● 0, and the stock price follows a Black-Scholes model: dst = st(rdt + udwt), s0 = z.

(a) Write down the no-arbitrage condition and use it to compute the fee that should be

charged for the pay-later option.  Prove that the fee of the pay-later is greater than the price of a usual call.                                                                                                      [20%] (b)  Suggest a static portfolio containing liquidly traded financial instruments that would repli- cate the pay-later option (of course, you are not allowed to use pay-later options in this portfolio). Note that the value of the option at signing date is zero. Hint: Call options and digital (binary) options are assumed to trade liquidly in the market.                          [20%] (c) What is the Delta of this option? Hint: You will require to compute the delta of a binary option.                                                                                                                            [10%]

2. Assume that the interest rate is a constant value r ● 0. A forward start call with maturity T and parameter a > (0, T) is an option that pays out (sT - sθ)+ at time T, where s is the price of the underlying following the Black-Scholes model: dst = st(rdt + udwt), s0 = z.

(a) What is the value of the option in the time interval [a, T]?                                          [20%] (b) What is the value of the option in the time interval [0, a]? Describe the hedging strategy on [0, T]. Assume that the hedging strategy for a call option is given. Hint: Your answer to part 2(a) will help you.                                                                                               [20%]

(c)  Compute the delta and gamma of this option.  Assume that the delta ∆│√ll(st, K, T - t, r, u) and gamma Γ│√ll(st, K, T - t, r, u) functions of a call option with strike K and time to maturity T - t (t < T) are given to you.                                                                   [10%]


Section B

You must answer 1 question from this section (the weighting is noted against the sub ques- tion).  If there is not enough space on a white sheet, please raise your hand to request a YELLOW answer sheet in order to continue your answer.

1. Assume that under the risk-neutral probability measure, the stock price s satisfies the stochas- tic differential equation

dst = rstdt + ←92 + u2 st(2) dwt,    s0 = z,

where r is the risk-free rate of interest, u and 9 are two positive constants.

(a)  Provide a Monte Carlo based algorithm to price a European call option with strike K and

maturity T.                                                                                                                     [20%]

(b)  Suggest a control variate to price the above European call option and provide the Monte Carlo algorithm.                                                                                                             [20%] (c)  Explain how to measure the effectiveness of using the control variates for pricing to an approach without using the control variates.                                                               [10%]

2. A desk quant wishes to calibrate a proprietary model with market option prices data.  Sup- pose that the parameters are represented by a vector 。 > 9K  and the market data is given as eP (ri, Kj){1民i民N,1民j民M  where ri  represent different time to maturities and Kj  represent different strikes. The aim of calibration is to minimise the error function with respect to Θ

N     M

Error(Θ) =            wij ╱Pm&del(Θ)(ri, Kj) - P (ri, Kj)、2 + }Penalty(Θ, Θ0),

i=1 j=1

where Pm&del(Θ)(ri, Kj) denotes the option price provided by the model and Θ0  denotes the initial parameter vector.

(a)  Is function Error(Θ) convex?  If yes, how does it simplify the calibration problem?  If no, how does it complicate the calibration problem? Explain your answer.                     [10%] (b)  Suggest a numerical method to solve non-convex optimisation problem and explain its implementation in the context of model calibration.                                                    [20%]

(c)  Explain the role of the choice of weights ewij{1民i民,N,1民j民M in the error function Error(Θ). [20%]

 

 












2022-02-14